ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Наряду с параллельным и ортогональным проектированиями, применяемыми в геометрии для изображения пространственных фигур, большое. - презентация

1 ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Наряду с параллельным и ортогональным проектированиями, применяемыми в геометрии для изображения пространственных фигур, большое значение для человека имеет, так называемое, центральное проектирование, используемое в живописи, фотографии и т.д. Само восприятие человеком окружающих предметов посредством зрения осуществляется по законам центрального проектирования. Пусть π - некоторая плоскость, S - не принадлежащая ей точка, центр проектирования. Для точки A пространства проведем прямую a, соединяющую эту точку с точкой S. Точка пересечения этой прямой с плоскостью π называется центральной проекцией точки A на плоскость π. Обозначим ее A'. Соответствие, при котором точкам A пространства сопоставляются их центральные проекции A', называется центральным проектированием или перспективой. (ПЕРСПЕКТИВА)

2 ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Если фигура Ф лежит в плоскости α, не проходящей через центр проектирования S, и параллельной плоскости проектирования π, то ее проекцией является фигура Ф, подобная Ф, и коэффициент подобия равен отношению расстояний от центра проектирования S до плоскостей π и α.

3 Перспектива 1 Центральное проектирование плоской фигуры Ф на плоскость, находящуюся между плоскостью фигуры Ф и центром проектирования S.

4 Перспектива 2 Центральное проектирование плоской фигуры Ф в случае, когда центр проектирования S расположен между плоскостью фигуры Ф и плоскостью проектирования.

5 Перспектива 3 Центральное проектирование плоской фигуры Ф в случае, когда плоскость фигуры Ф расположена между плоскостью плоскостью проектирования и центром проектирования S.

6 Куб 1 Центральная проекция куба на плоскость, параллельную плоскости грани куба.

7 Куб 2 Центральная проекция куба на плоскость, параллельную ребру куба.

8 Куб 3 Центральная проекция куба в общем случае.

9 Куб 4 Центральная проекция куба в общем случае.

10 Пирамида Центральная проекция правильной четырехугольной пирамиды.

11 Призма Центральная проекция правильной шестиугольной призмы.

12 Цилиндр Центральная проекция цилиндра.

13 А. Дюрер На гравюре А.Дюрера (1471 – 1528) показано получение перспективного изображения предмета с помощью натянутой нити.

14 Н.Н. Ге Русский художник и педагог Н.Н. Ге (1834 – 1894), обращаясь к своим ученикам, говорил: «Учите перспективу, и когда овладеете ею, внесите ее в работу, в рисование. Здесь мы представляем картину Н.Н. Ге «Петр I допрашивает царевича Алексея»

15 И.Е. Репин ( ) Не ждали

16 П.А. Федотов ( 1815 – 1852) Сватовство майора

17 Упражнение 1 Для всех ли точек пространства существует центральная проекция? Для каких точек она не существует? Ответ: Нет. Она не существует для точек плоскости, проходящей через центр проектирования и параллельной плоскости проектирования.

18 Упражнение 2 Могут ли при центральном проектировании параллельные прямые перейти в пересекающиеся? Ответ: Да.

19 Упражнение 3 В каком случае центральной проекцией двух прямых будут две параллельные прямые? Ответ: Если прямые параллельны плоскости проектирования.

20 Упражнение 4 Какое изображение фигуры получится в центральной проекции, если плоскость проектирования расположена между фигурой и центром проектирования? Ответ: Уменьшенное прямое.

21 Упражнение 5 Какое изображение фигуры получится в центральной проекции, если центр проектирования находится между фигурой и плоскостью проектирования? Ответ: Перевернутое.

22 Упражнение 6 Какое изображение фигуры получится в центральной проекции, если она расположена между плоскостью проектирования и центром проектирования? Ответ: Увеличенное прямое.

23 Упражнение 7 Что можно сказать о центральной проекции плоской фигуры, которая расположена в плоскости, параллельной плоскости проектирования? Ответ: Она будет подобна исходной.

24 Упражнение 8 Пусть прямая a пересекает плоскость и не проходит через точку S. Покажите на рисунке, куда при центральном проектировании переходит часть прямой a, расположенная: а) «выше»; б) «ниже» плоскости. Ответ: а) В точки лучей AD и SC без их начал, т.е. без точек A и S; б) в точки отрезка AS без его концов, т.е. без точек A и S.

25 Упражнение 9 На рисунке изображена центральная проекция куба. Объясните, как в каждом случае расположен куб относительно плоскости проектирования. Ответ: а) Грань ADD 1 A 1 куба параллельна плоскости проектирования; б) ребро BB 1 куба параллельно плоскости проектирования; в) грань ABCD куба параллельна плоскости проектирования и точка F лежит внутри изображения этой грани; г) плоскость проектирования не параллельна никакому ребру куба.

26 Упражнение 10 На рисунке изображена центральная проекция правильной четырёхугольной пирамиды. Объясните, как она расположена относительно плоскости проектирования. Ответ: а) Плоскость основания пирамиды параллельна плоскости проектирования, и прямая SM перпендикулярна плоскости проектирования, где S – центр проектирования, M – вершина пирамиды; б) плоскость основания пирамиды параллельна плоскости проектирования; в) плоскость основания не параллельна плоскости проектирования.

27 Упражнение 11 На рисунке изображена центральная проекция прямого кругового цилиндра. Как цилиндр расположен относительно плоскости проектирования? Ответ: Плоскость проектирования параллельна основаниям цилиндра.

28 Упражнение 12 Дорисуйте центральную проекцию куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на плоскость, параллельную плоскости грани ABB 1 A 1. Ответ.

29 Упражнение 13 Расстояние от центра проектирования до плоскости грани ABB 1 A 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, изображенного на рисунке, равно 10. Найдите расстояние от центра проектирования до плоскости грани CDD 1 C 1. Ответ. 20.

30 Упражнение 14 Дорисуйте центральную проекцию куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на плоскость, параллельную плоскости грани ABB 1 A 1. Ответ.

31 Упражнение 15 Расстояние от центра проектирования до плоскости грани CDD 1 C 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, изображенного на рисунке, равно 16. Найдите ребро куба. Ответ. 8.

32 Упражнение 16 Изобразите центральную проекцию куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на плоскость, перпендикулярную ребру AA 1, центр S проектирования лежит на продолжении этого ребра. Ответ.

33 Упражнение 17 Изобразите центральную проекцию куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на плоскость, не перпендикулярную ребру AA 1, центр S проектирования лежит на продолжении этого ребра. Ответ.

34 Упражнение 18 Изобразите центральную проекцию куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на плоскость, перпендикулярную диагонали AC 1, центр S проектирования лежит на продолжении этой диагонали. Ответ. На рисунках показаны изображения, полученные с помощью компьютерных программ.

35 Упражнение 19 Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проектируется на плоскость грани ABB 1 A 1. При этом стороны квадрата, являющегося проекцией грани CDD 1 C 1 равны 0,4. Найдите расстояние от центра проектирования до плоскости проектирования. Ответ.

36 Упражнение 20 Изобразите центральную проекцию правильной четырехугольной пирамиды SABCD на плоскость, перпендикулярную ребру AS, центр S проектирования лежит на продолжении этого ребра. Ответ.

37 Упражнение 21 Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 на плоскость, перпендикулярную отрезку OO 1, соединяющему центры ее оснований, центр S проектирования лежит на продолжении этого отрезка. Ответ.

38 Упражнение 22 Правильная шестиугольная призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, проектируется на плоскость грани A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1. При этом стороны шестиугольника, являющегося проекцией грани ABCDEF равны 0,6. Найдите расстояние от центра проектирования до плоскости проектирования. Ответ. 1,5.

39 Упражнение 23 Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 на плоскость, перпендикулярную ребру AA 1, центр S проектирования лежит на продолжении этого ребра. Ответ.

40 Упражнение 24 Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 на плоскость, перпендикулярную отрезку, соединяющему центры противоположных боковых граней, центр S проектирования лежит на продолжении этого отрезка. Ответ.

41 Упражнение 25 Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 на плоскость, перпендикулярную отрезку, соединяющему середины противоположных боковых ребер, центр S проектирования лежит на продолжении этого отрезка. Ответ.