Следствие 1 Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она лежит в этой плоскости. Доказательство. Пусть прямая с имеет с плоскостью α две общие. - презентация

1 Следствие 1 Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она лежит в этой плоскости. Доказательство. Пусть прямая с имеет с плоскостью α две общие точки A и B. Так как на плоскости выполняются аксиомы планиметрии, то через точки A и B плоскости α проходит прямая, лежащая в этой плоскости. Так как через две точки пространства проходит единственная прямая, то она будет совпадать с прямой c. Следовательно, прямая с лежит в плоскости α.

2 Следствие 2 Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость. Доказательство. Пусть точка B не принадлежит прямой a. Выберем две точки на прямой a. Через эти точки и точку B проходит единственная плоскость α. По Свойству 1, прямая a лежит в плоскости α. Значит, плоскость α проходит через прямую a и точку А.

3 Следствие 3 Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Доказательство. Пусть a и b – две пересекающиеся прямые, C – точка пересечения. Выберем на этих прямых соответственно точки A и B. Через точки A, B и C проходит единственная плоскость α. По Свойству 1, прямые a и b лежат в плоскости α. Значит, плоскость α проходит через прямые a и b.

4 Упражнение 1 Четыре точки не принадлежат одной плоскости. Могут ли три из них принадлежать одной прямой? Ответ: Нет.

5 Упражнение 2 Могут ли две плоскости иметь две общие прямые? Ответ: Нет.

6 Упражнение 3 Три вершины параллелограмма принадлежат некоторой плоскости. Верно ли утверждение о том, что и четвёртая вершина этого параллелограмма принадлежит той же плоскости? Ответ: Да.

7 Упражнение 4 Две вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма принадлежат одной плоскости. Верно ли утверждение о том, что и две другие вершины параллелограмма принадлежат этой плоскости? Ответ: Нет.

8 Упражнение 5 Верно ли, что любая прямая, пересекающая каждую из двух данных пересекающихся прямых, лежит в плоскости этих прямых? Ответ: Нет.

9 Упражнение 6 Могут ли вершины замкнутой ломаной, состоящей из трёх звеньев, не принадлежать одной плоскости? Ответ: Нет.

10 Упражнение 7 Могут ли вершины замкнутой ломаной, состоящей из четырёх звеньев, не принадлежать одной плоскости? Ответ: Да.

11 Упражнение 8 Прямые a, b, c попарно пересекаются. Верно ли, что они лежат в одной плоскости? Ответ: Нет.

12 Упражнение 9 Ответ: Через точку C. Прямые a и b пересекаются в точке C. Через прямую a проходит плоскость α, через прямую b – плоскость β, отличная от α. Как проходит линия пересечения этих плоскостей?

13 Упражнение 10 Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары из: а) трех точек; б) четырех точек; в)* n точек? Ответ: а) 3;б) 6; в)*

14 Упражнение 11 Какое наибольшее число плоскостей можно провести через различные тройки из: а) четырех точек; б) пяти точек; в)* n точек? Ответ: а) 4;б) 10; в)*

15 Упражнение 12 На какое наибольшее число частей могут делить пространство; а) одна плоскость; б) две плоскости; в) три плоскости; в) четыре плоскости? Ответ: а) 2;б) 4;в) 8;г) 15.