Уравнение прямой Теорема. Прямая на плоскости задается уравнением ax + by + c = 0, где a, b, c - некоторые числа, причем a, b одновременно не равны нулю. - презентация

1 Уравнение прямой Теорема. Прямая на плоскости задается уравнением ax + by + c = 0, где a, b, c - некоторые числа, причем a, b одновременно не равны нулю и составляют координаты вектора, перпендикулярного этой прямой и называемого вектором нормали.

2 Угловой коэффициент Если число b в уравнении прямой не равно нулю, то, разделив на b, это уравнение можно привести к виду y = kx + l. Коэффициент k называется угловым коэффициентом этой прямой. Он равен тангенсу угла, который образует прямая с осью абсцисс.

3 Взаимное расположение прямых Две прямые, заданные уравнениями a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 = 0, параллельны, если векторы их нормалей одинаково или противоположно направлены, т.е. для их координат (a 1,b 1 ), (a 2,b 2 ) для некоторого числа t выполняются равенства a 2 =ta 1, b 2 =tb 1. При этом, если с 2 =tс 1, то уравнения определяют одну и ту же прямую. Если же с 2 tc 1, то эти уравнения определяют параллельные прямые. Если две прямые пересекаются, то угол между ними равен углу между их нормалями (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ). Этот угол можно вычислить через формулу скалярного произведения

4 Пример 1 Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями: x + 2y – 1 = 0, 2x – y + 3 = 0. Решение: Векторы нормалей к данным прямым имеют координаты (1, 2) и (2, -1) соответственно. Их скалярное произведение равно нулю и, следовательно, эти векторы перпендикулярны. Значит, угол между данными прямыми равен 90 о.

5 Пример 2 Найдите уравнение прямой, проходящей через заданные точки A 1 (x 1, y 1 ) и A 2 (x 2, y 2 ). Решение: Найдем вектор нормали к данной прямой. Он перпендикулярен вектору (x 2 – x 1, y 2 – y 1 ). Следовательно, в качестве такого вектора можно взять вектор с координатами (y 2 – y 1, x 1 – x 2 ). Искомым уравнением прямой будет уравнение (y 2 – y 1 )(x – x 1 ) + (x 1 – x 2 )(y – y 1 ) = 0, которое можно также переписать в виде (y 2 – y 1 )x + (x 1 – x 2 )y + x 2 y 1 – y 2 x 1 = 0.

6 Упражнение 1 Какие уравнения имеют координатные прямые: а) Ox; б) Oy? Ответ: а) y = 0;б) x = 0.

7 Упражнение 2 Изобразите прямую, заданную уравнением y = 2x. Ответ:

8 Упражнение 3 Изобразите прямую, заданную уравнением x - 2y + 2 = 0. Ответ: (1, -2).

9 Упражнение 4 Напишите уравнение прямой, изображенной на рисунке. Ответ: x – 3y = 0.

10 Упражнение 5 Напишите уравнение прямой, изображенной на рисунке. Ответ: 2x + 3y = 6.

11 Упражнение 6 Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом: а) k = 1; б) k = 2; в) k = 0,5 ; г) k = -1; д) k = -2; е) k = - 0,5. Нарисуйте эти прямые. Ответ: а) y = x;б) y = 2x;в) y = 0,5 x;г) y = -x; д) y = -2x;е) y = - 0,5x.

12 Упражнение 7 Найдите угловой коэффициент прямой: а) 2x - 3y + 4 = 0; б) x + 2y - 1 = 0. Ответ: а) б) – 0,5.

13 Упражнение 8 Ответ: x + y - 1 = 0. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 0), B (0, 1).

14 Упражнение 9 Ответ: x - y + 1 = 0. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A 0 (1, 2) с вектором нормали (-1, 1).

15 Упражнение 10 Напишите уравнение прямой, проходящей через точки M(3, -1), N(4, 1). Найдите координаты вектора нормали этой прямой. Ответ: 2x - y - 7 = 0; (2, -1).

16 Упражнение 11 Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку M(1, -2) и параллельна: а) координатной прямой Ox; б) координатной прямой Oy; в) прямой y = x. Ответ: а) y = -2;б) x = 1;в) y = x – 3.

17 Упражнение 12 Точка H(-2, 4) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Напишите уравнение этой прямой. Ответ: x - 2y + 10 = 0.

18 Упражнение 13 Определите, какие из перечисленных ниже пар прямых параллельны между собой: а) x + y - 1 = 0, x + y + 1 = 0; б) x + y - 1 = 0, x - y - 1 = 0; в) -7x + y = 0, 7x - y - 5 = 0; г) 2x + 4y - 8 = 0, -x - 2y + 4 = 0. Ответ: а), в).

19 Упражнение 14 Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями x + y + 1 = 0, x - y - 1 = 0. Изобразите эти прямые. Ответ: 90 о.

20 Упражнение 15 Найдите координаты точки пересечения прямых: а) x + y - 1 = 0, x - y + 3 = 0; б) 3x - y + 2 = 0, 5x - 2y + 1 = 0. Ответ: а) (-1, 2);б) (-3, -7).

21 Упражнение 16* Напишите уравнение прямой, симметричной прямой, заданной уравнением ax + by + с = 0, относительно: а) оси Ox; б) оси Oy; в) начала координат O. Ответ: а) ax – by + с = 0;б) –ax + by + с = 0; в) ax + by – с = 0.

22 Упражнение 17* Треугольник задан своими вершинами A(1, 3), B(3, 0), C(4, 2). Найдите уравнения высот этого треугольника и координаты их точки пересечения. Ответ: h a : x + 2y – 7 = 0; h b : 3x – y – 9 = 0; h c : 2x – 3y – 2 = 0;