1.1. Пропорциональные отрезки. 1.2. Определение подобных треугольников 1.2. Определение подобных треугольников 1.3. Отношение площадей подобных треугольников. - презентация

1

2

3

4 1.1. Пропорциональные отрезки Определение подобных треугольников 1.2. Определение подобных треугольников 1.3. Отношение площадей подобных треугольников Отношение площадей подобных треугольников Свойства подобия.

5 1.1 Пропорциональные отрезки. Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, т. е. Говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1, если ПРИМЕР 1. Отрезки AB и CD, длины которых равны 2 см и 1см, пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1,отрезки которых равны 3см и 1,5см. В самом деле,

6 1.2. Определение подобных треугольников. В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный и теннисный мячи, круглая тарелка и большое круглое блюдо. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются любые два квадрата, любые два круга. Введем понятие подобных треугольников.

7 1.2. Определение подобных треугольников. ПОДОБИЕ, геометрическое понятие, характеризующее наличие одинаковой формы у геометрических фигур, независимо от их размеров. Две фигуры F1 и F2 называются подобными, если между их точками можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором отношение расстояний между любыми парами соответствующих точек фигур F1 и F2 равно одной и той же постоянной k, называемой коэффициентом подобия. Углы между соответствующими линиями подобных фигур равны. Подобные фигуры F1 и F2.

8 1.2. Определение подобных треугольников. Задача1. Пусть у двух треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 соответственно равны: A= A 1, B= B 1, C= C 1. В этом случае стороны AB и A 1 B 1, BC и B 1 C 1, CA и C 1 A 1 называются сходными.

9 1.2. Определение подобных треугольников. А B C А1А1 B 1 C1C1 AB и A 1 B 1, BC и B 1 C 1, CA и C 1 A 1 - сходственные стороны

10 Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Другими словами, два треугольника подобны, если их можно обозначить буквами ABC и A 1 B 1 C 1 так, что A= A 1, B= B 1, C= C 1, Число k, равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия.

11 1.2. Определение подобных треугольников. Подобие треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 обозначается так : Нажмите сюда и увидите подобные треугольники

12 1.3. Отношение площадей подобных треугольников. Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Доказательство. Пусть треугольники ABC и A1B1C1 подобны и коэффициент подобия равен k. Обозначим буквами S и S1 площади этих треугольников. Так как A= A1, то

13 1.3. Отношение площадей подобных треугольников. По формулам имеем: поэтому Теорема доказана.

14 Свойства подобия. Задача 2. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника Решение. Пусть AD – биссектриса треугольника ABC. Докажем, что Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту AH, поэтому 12 A H B D C

15 С другой стороны, эти же треугольники имеют по равному углу( A= A 1 ), поэтому Из двух равенств для отношений площадей получаем, или Что и требовалось доказать.

16

17 Теорема: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. А= А 1 В= В 1 АВС А 1 В 1 С 1

18 Доказательство: По теореме о сумме углов: С = А - В, а С 1 = А 1 - В 1,значит С= С 1. Так как А= А 1 и С= С 1, то и От этого следует: Получается, что сходственные стороны пропорциональны. Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 А= А 1 В= В 1 Доказать: АВС А 1 В 1 С 1 А С В А1А1 В1В1 С1С1

19 Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. АВС А 1 В 1 С 1

20 АВС 2 А 1 В 1 С 1 (по первому признаку),значит, с другой стороны,из этих равенств получается АС= =АС 2. АВС= АВС 2 -по двум сторонам и углу между ними (АВ-общая сторона, АС=АС 2 и,т.к. и ).Значит и, то АВС А1В1С1 Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 Д-ть: Доказательство: Рассмотрим АВС 2, у которого и

21 Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобные. АВС А1В1С1

22 Доказательство: Рассмотрим АВС 2, у которого и. Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 Д-ть:АВС А 1 В 1 С 1 АВС 2 А 1 В 1 С 1 (по первому признаку),значит и АВС= АВС 2 значит, а так как, то Значит АВС А 1 В 1 С 1

23

24 Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

25 Дано: АВС МN – средняя линия Доказать: МN //АС и MN=1/2AC Доказательство: ВМN и ВАС – подобны, так как 1)В – общий 2)BM:ВА=ВN:BC=1:2 Значит ВMN = BAC и MN/АС = 1/2 То MN//АС и MN = ½ Теорема доказана.

26 Меридианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую меридиану в отношении 2:1, считая от вершины. Дано: АВС т.О – пересечение медиан ВВ 1 и АА1 Доказать:

27 Доказательство: А 1 В 1 – средняя линия, и А 1 В 1 //АВ, поэтому и Значит АОВ А 1 ОВ 1 (по двум углам),то Но АВ=А 1 В 1, поэтому АО=2А 1 О и ВО=2В 1 О. Значит точка О- пересечение медиан АА 1 и ВВ 1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Аналогично доказывается, что точка О – пересечение медиан ВВ 1 и СС 1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Значит точка О – пересечения медиан АА 1, ВВ 1 и СС 1 делит их в отношении 2:1, считая от вершины.

28 Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному. Н В С А Дано: АВС – прямоугольный СН – высота Доказать: АВС АСН АВС СВН АСН СВН

29 Доказательство: АВС АСН(по двум углам: А- как общий и прямым), АВС ВСН(по двум углам: В- общий и прямыми), Рассмотрим АСН и ВСН – прямоугольные 1) угол АНС = углу СНВ – прямые углы 2) угол А = углу ВСН Значит АСН ВСН.

30 Отрезок ХY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) между отрезками АВ и СД, если

31 Дано: АВС – прямоугольный СН – высота Доказать: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. С Н А В Доказательство: АНС СВН, поэтому Следовательно СН 2 =АН * НВ Значит

32 Дано: АВС – прямоугольный СН – высота Доказать: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. С В Н Доказательство: АВС АСН(по двум углам), поэтому Значит А

33

34 Синус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. А СВ

35 А ВС Косинус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

36 А ВС Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

37 А ВС Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

38 А ВС

39 А ВС АВС – прям. АВС – прям. Т.к. в с а

40 А ВС АВС – прям. АВС – прям. в с а а=1 с=2 По теореме Пифагора :

41 А ВС в с а

42 А ВС в с а а sin a cos a tg a1 ctg a1

43