Нормальным вектором плоскости (или нормалью плоскости) называют вектор, перпендикулярный данной плоскости.p n. - презентация

1 Нормальным вектором плоскости (или нормалью плоскости) называют вектор, перпендикулярный данной плоскости.p n

2 Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла: два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол.О Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы к каждой плоскости. Отложим их от точки О. Угол между нормалями равен линейному углу между плоскостями. Убедимся: pn

3 cos cos = x y z 1 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x y z 2 2 x y z 2 2 Вычислять угол между векторами мы умеем по формулеО Но! При решении задач мы можем выбрать нормали так, что угол между векторами будет тупой. А угол между плоскостями не может быть тупой. А мы по этой формуле получим cos < 0.pn Как быть в этой ситуации?

4 - искомый угол между прямой и плоскостью p n - угол между векторами p и n p n Итак, если угол между нормалями острый, то мы сразу получаем угол между плоскостями (формула со знаком «+»). Если угол между нормалями тупой, то чтобы получить косинус острого угла, надо взять полученный косинус со знаком «–». Тогда (уже обосновали) x y z 1 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x y z 2 2 x y z 2 2 cos cos = А лучше и проще…

5 1. Нормальный вектор (нормаль) для первой плоскости 1. Нормальный вектор (нормаль) для первой плоскости. 2. Нормальный вектор (нормаль) для второй плоскости 2. Нормальный вектор (нормаль) для второй плоскости. 3. Вычислить cos по формуле Данная формула даст правильный ответ (острый угол между прямыми), даже если вы при решении задачи выберите нормальные векторы так, что угол между ними будет тупой. Алгоритм. Применение скалярного произведения для вычисления угла между плоскостями. 4. Найти угол. Если значение косинуса не табличное, то записать ответ, используя арккосинус. x y z 1 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x y z 2 2 x y z 2 2 cos cos =

6 DB 1 2. Нормаль ко второй плоскости, которую я и строить не берусь… Но по условию это сечение проходит перпендикулярно прямой В 1 D. Значит, В 1 D перпендикуляр к плоскости. Выберем нормаль B 1 D. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD =. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA 1 D 1 D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B 1 D, если расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD равно. D1D1D1D1 BA D B1B1B1B1 C1C1C1C1 A1A1A1A1 5 Расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD?zx C 1. Нормаль к плоскости АDD 1DC Решим задачу методом координат. Введем нормали к плоскостям. y

7 (0; 5; 0) Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD =. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA 1 D 1 D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B 1 D, если расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD равно. D1D1D1D1 BA D B1B1B1B1 C1C1C1C1 A1A1A1A1 5 Я выбрала очень удобно нормальные векторы. Ведь это радиус-векторы. Координаты радиус-вектора такие же, как и координаты конца вектора. Значит, нам надо найти координаты точек В 1 и С.zx C y ( ; 5; ) DB 1 1. DC 2. ( ; 5; ) (0; 5; 0)

8 3. DB 1 ( ; 5; ) DC (0; 5; 0) Теперь найдем тангенс. 1 tg tg 2 A 1 cos 2 A т.к. – острый угол