Теорема о трех перпендикулярах Открытый урок по математике 1 курс. - презентация

1 Теорема о трех перпендикулярах Открытый урок по математике 1 курс

2 Цель урока: Облегчить учащимся понимание содержания теоремы. Пробудить в них интерес к исследовательской работе. Вызвать их на размышления

3 Математический диктант Задание: Перечислите и запишите в тетради названия элементов (отрезков) чертежа, если АВ Задание: Перечислите и запишите в тетради названия элементов (отрезков) чертежа, если АВ В С А

4 Ответ: АВ – перпендикуляр ВС – наклонная АС – проекция наклонной

5 Дополнительные вопросы: Какой формулой связанны между собой перечисленные отрезки? Какой формулой связанны между собой перечисленные отрезки? Чему равно ВС, если АВ = 3 см, АС = 4 см.? Чему равно ВС, если АВ = 3 см, АС = 4 см.?

6 Постановка проблемы Через конец А отрезка АВ длины b, проведена плоскость, перпендикулярная отрезку. И в этой же плоскости проведена прямая с. Найти расстояние от точки В до прямой, если расстояние от точки А до прямой с равно а. Через конец А отрезка АВ длины b, проведена плоскость, перпендикулярная отрезку. И в этой же плоскости проведена прямая с. Найти расстояние от точки В до прямой, если расстояние от точки А до прямой с равно а.

7 Дан отрезок АВ = в, он перпендикулярен плоскости: А В b

8 В плоскости проводится прямая, назовем ее СD : В А D С По условию задачи известно расстояние от точки А до прямой СD, оно равно а.

9 Расстояние от точки до прямой, есть перпендикуляр, проведенный из этой точки на прямую! А D C

10 Теперь нужно выяснить, сколько перпендикуляров на чертеже и чему равно АА 1 ? В А D С b а A1A1

11 Куда пойдет перпендикуляр из точки В ? Где будет находиться его основание на прямой CD ? В А D С А1А1

12 Первое доказательство

13 А В А1А1 с С Дано: ;,АС – наклонная, ВС – проекция. ВС, АВ. Доказать: АС Доказательство. 1.Проведем СА1 2.СА1||АВ по теореме.(Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны). 3.Проведем через АВ и СА1 плоскость β. 4.с СА, с ВС (по Теореме: «Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости».),с β, значит с АС. Ч.Т.Д.

14 Второе доказательство

15 B с D С Дано: ;АС – наклонная, ВС – проекция. ВС, АВ. Доказать: АС. Доказательство. 1) СD ·CA = CD ·(CB+BA)=CD ·CB+CD ·BA 2) По условию CD CB. Значит,CD ·CB=0; CD BA, значит СD ·BA=0. Таким образом получаем: CD·CA=0,CD CA, c AC. Ч.Т.Д. A

16 Третье доказательство

17 A B D C E c Дано: ; АС-наклонная, ВС-проекция. ВС, АВ. Доказать: АС. Доказательство. 1) Достроим рисунок так, что => Значит, (как наклонные, имеющие равные проекции). 3) - равнобедренный и, - медиана и высота. Ч. т. д.

18 Продолжим решение предложенной в начале урока задачи

19 В D А A1A1 b a c Дано:, Найти: Расстояние от точки В до прямой CD Решение. 1) Расстояние от точки до прямой является 2)По теореме «О трех перпендикулярах». - проекция наклонной ВА 1. Ответ: Расстояние от точки В до прямой CD равно перпендикуляр Из,По теореме Пифагора:

20 Практическое применение теоремы о трех перпендикулярах

21 Задача: В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены под углом под углом α. Изобразить этот угол (см. рисунок). В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены под углом под углом α. Изобразить этот угол (см. рисунок). A O B K C D

22 Установить взаимное положение прямых а и в по готовым чертежам 1. ABCD – квадрат BE ABCD A b a C B D E

23 Установить взаимное положение прямых а и в по готовым чертежам 2. ABCD – квадрат BE ABCD A b a C B D E

24 Установить взаимное положение прямых а и в по готовым чертежам 3. ABCD – POMB AE ABCD A D E C b B a O

25 Установить взаимное положение прямых а и в по готовым чертежам 4. ABCD – POMB BE ABCD A D E C b B a O

26 Самостоятельная работа А) АВ- перпендикуляр к плоскости, АС- наклонная, ВС- ее проекция на плоскость, СД- прямая на плоскости, перпендикулярная прямой ВС. Почему угол АСД-прямой? А) АВ- перпендикуляр к плоскости, АС- наклонная, ВС- ее проекция на плоскость, СД- прямая на плоскости, перпендикулярная прямой ВС. Почему угол АСД-прямой? В) Угол С треугольника АВС- прямой. АД- перпендикуляр к плоскости Δ АВС. Докажите, что Δ ВСД- прямоугольный. В) Угол С треугольника АВС- прямой. АД- перпендикуляр к плоскости Δ АВС. Докажите, что Δ ВСД- прямоугольный. С) Из вершины А прямоугольного Δ АВС ( угол В - прямой) к плоскости Δ АВС проведен перпендикуляр АК. Докажите, что прямые КВ и ВС взаимно перпендикулярны. С) Из вершины А прямоугольного Δ АВС ( угол В - прямой) к плоскости Δ АВС проведен перпендикуляр АК. Докажите, что прямые КВ и ВС взаимно перпендикулярны.

27 Домашнее задание Выучить наизусть любое из предложенных доказательств. Выучить наизусть любое из предложенных доказательств. Решить две задачи из учебника. Решить две задачи из учебника.

28 Подведение итогов урока.