Считается, что эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Тем не менее, она была. - презентация

1

2 Считается, что эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Тем не менее, она была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке. Возможно, её открыл персидский учёный, поэт и философ Омар Хайям. Исаак Ньютон обобщил формулу для прочих показателей степени.

3 Первые математические открытия Ньютон сделал ещё в студенческие годы: классификация алгебраических кривых 3-го порядка и биномиальное разложение произвольной (не обязательно целой) степени в 1676 году, с которого начинается ньютоновская теория бесконечных рядов нового и мощнейшего инструмента анализа. Разложение в ряд Ньютон считал основным и общим методом анализа функций, и в этом деле достиг вершин мастерства. Он использовал ряды для вычисления таблиц, решения уравнений (в том числе дифференциальных), исследования поведения функций.

4 В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном, хотя эта формула входит в школьный курс алгебры. В рассказе Артура Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти: «Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность». Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» Михаила Афанасьевича Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!». Об этой специфической роли бинома Ньютона в культуре писал известный математик Владимир Андреевич Успенский

5 Бином Ньютона - это название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома, двучлена) через степени этих слагаемых, а именно: (1), где n целое положительное число, а и b какие угодно числа. Частными случаями бинома Ньютона при n = 2 и n = 3 являются известные формулы для квадрата и куба суммы а и b (формулы сокращенного умножения): (а + b) 2 = а 2 + 2ab + b 2, (а + b) 3 = а 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ; при n = 4 получают (а + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 и т.д. Коэффициенты формулы (или разложения) бинома Ньютона называют биномиальными коэффициентами; коэффициент при a n-k b k обозначается так: или. Последнее обозначение связано с комбинаторикой: есть число сочетаний из n различных между собой элементов, взятых по k.

6 Биномиальные коэффициенты обладают многими замечательными свойствами: все они целые положительные числа; крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краев к середине; сумма всех коэффициентов равна 2 n. Особенно важное значение имеет следующее свойство: сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а+b) n равна определённому коэффициенту в разложении (а+b) n+1 ; например, суммы 1+3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а+b) 3 дают коэффициенты 4, 6 и 4 в формуле для (а+b) 4. Вообще:

7 Пользуясь этим свойством, можно, отправляясь от известных коэффициентов для (а + b)1, получить путём сложения биномиальные коэффициенты для любого n. Выкладки располагают в виде таблицы, которую называют арифметическим треугольником или треугольником Паскаля или треугольная числовая таблица для составления биномиальных коэффициентов. По бокам треугольника Паскаля стоят единицы, внутри суммы двух верхних чисел.

8 Формула бинома Ньютона указала возможность распространения разложения на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь Н. Абелем в 1826 г). В этом более общем случае формула бинома Ньютона начинается так же, как формула (1); коэффициентом при a n-k b k служит выражение, которое, в случае целого положительного n, обращается в нуль при всяком k > n, вследствие чего формула (1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Если |b| < |а|, то этот ряд сходится, т. е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к (а + b) n. Формула бинома Ньютона играет важную роль во многих областях математики (алгебре, теории чисел и др.).

9