Вписанные углы учитель математики МБОУ « Кингисеппская гимназия» Тормозова Ирина Владимировна. - презентация

1 Вписанные углы учитель математики МБОУ « Кингисеппская гимназия» Тормозова Ирина Владимировна

2 Вписанные углы Цветочная клумба Дана клумба круглой формы, на одной из хорд которой посажены розы. В каких разных местах клумбы должны быть посажены три куста роз таким образом, чтобы с этих точек все розы были видны под одним и тем же углом?

3 Вписанные углы План УРОКА Изучить определение вписанного угла Научиться распознавать вписанные углы на чертежах Узнать, какими свойствами обладают вписанные углы Научиться применять полученные знания при решение задач

4 Вписанные углы Углы : Угол – геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности.

5 Вписанные углы Повторение Дано: АКЕ на 140 ° меньше АРЕ НАЙТИ: АРЕ Дано: МОN= EOK МОE: MON : NOK= 7 : 4 : 3 Найти: ME : NK : KE

6 Вписанные углы На какие группы вы бы разделили углы?

7 Вписанные углы Чем похожи и чем различаются углы АВС и КРО

8 Вписанные углы Определение Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным вписанным.

9 Вписанные углы Найти рисунки, на которых углы вписанные

10 Вписанные углы

11 Теорема о вписанном угле Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

12 Вписанные углы Теорема о вписанном угле 1 случай Луч ВО совпадает со стороной угла АВС Теорема о вписанном угле 1 случай Луч ВО совпадает со стороной угла АВС Дано: Окр (О; R) АВС – вписанный угол Доказать: АВС = ½ АС Доказательство: 1. АОВ – равнобедренный, так как ОВ = ОА = R, значит, В = А. 2. СОА – внешний угол, следовательно, СОА = ОВА + ОАВ СОА = 2 ОВА, значит, ОВА = ½ СОА СВА = ½ АС.

13 Вписанные углы 2 случай Луч ВО делит угол АВС на 2 угла Точка D разделяет дугу АС на две дуги: А D и DС. По доказанному АВ D= ½ А D и DВС= ½ DС. Складывая эти равенства почленно, получаем: АВ D+ DВС= ½ А D + ½ DС, или АВС= ½ А С.

14 Вписанные углы 3 случай Луч ВО НЕ ДЕЛИТ угол АВС на два угла и не совпадает со сторонами этого угла.

15 Вписанные углы

16

17 Следствия Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой.

18 Вписанные углы Следствие 1 АВС = АКС, так как АВС = ½ АС и АКС = ½ АС, значит, АВС = АКС

19 Вписанные углы Следствие 2 АВС = 90, так как он опирается на развёрнутый угол, градусная мера которого равна 180.

20 Вписанные углы Задача 1 Дано: АОС = 80. Найти: АВС = ? Ответ: 40.

21 Вписанные углы Задача 2 Дано: АВС = 34°. Найти: АОС = ? Ответ: 68°.

22 Вписанные углы Задача 3 Дано: АВС = 54. Найти: АКС = ? Ответ: 54.

23 Вписанные углы

24 °° ° ° °

25 ° ° °

26 °

27 Игра на повторение «Веришь не веришь» Верите ли вы, что если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚? Верите ли вы, что отрезки касательных к окружности равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности? Верите ли вы, что угол проходящий через центр окружности называется ее центральным углом? Верите ли вы, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается? Верите ли вы, что величина центрального угла в два раза больше величины дуги, на которую он опирается? Верите ли вы, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚ ? Верите ли вы, что угол, стороны которого пересекают окружность называется вписанным углом? Верите ли вы, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны? Верите ли вы, что при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники? Нет, отрезки касательных к окружности (проведенные из одной точки) равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через (эту точку и) центр окружности. ДА, если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚. Нет, угол проходящий (выходящий из) через центр окружности называется ее центральным углом. Да, вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Нет, величина центрального угла в два раза больше (равна) величины дуги, на которую он опирается. Нет, вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚ (прямой). Нет, угол, стороны которого пересекают окружность (а вершина лежит на окружности) называется вписанным углом. Да, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. Да, при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники.

28 Вписанные углы Работа по тесту с программированным контролем решения. Вариант Угол АСВ на 38° меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ а) 96 ° ; б) 114 ° ; в) 104 ° ; г) 76 ° ; 2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО. а ) 60°; б)40°; в) 30°; г) 45°; 3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол АОС=126 ° а) 112 °; б) 123 °; в) 117°; г) 113 °; Вариант Угол МСК на 34 ° меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК. а) 112°; б) 102°; в) 96°; г) 68°; 2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС. а) 50°; б) 60°; в) 30°; г) 45°; 3. О – центр окружности, угол L =136 °. Найдите угол В. а) 292 °; б) 224 °; в) 112 °; г) 146 °;

29 Вписанные углы Ответы Задания123 1 ВариантБВВ 2 ВариантБВВ

30 Вписанные углы Работа по тесту с программированным контролем решения. Вариант Угол АСВ на 38° меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ а) 96 ° ; б) 114 ° ; в) 104 ° ; г) 76 ° ; 2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО. а ) 60°; б)40°; в) 30°; г) 45°; 3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол АОС=126 ° а) 112 °; б) 123 °; в) 117°; г) 113 °; Вариант Угол МСК на 34 ° меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК. а) 112°; б) 102°; в) 96°; г) 68°; 2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС. а) 50°; б) 60°; в) 30°; г) 45°; 3. О – центр окружности, угол L =136 °. Найдите угол В. а) 292 °; б) 224 °; в) 112 °; г) 146 °;

31 Вписанные углы Проверка домашнего задания. Задача на вычисление суммы углов пятиконечной звезды, вписанной в окружность

32 Вписанные углы I способ: Угол AMR – внешний угол треугольника MCE, поэтому AMR= C + E. Угол ARM – внешний угол треугольника BRD, поэтому ARM=B + D. Тогда A+ B+ C + D + E =

33 Вписанные углы I I способ: Когда вершины пятиугольной звезды делят окружность на равные дуги, задача решается очень просто: 360 ° : 5 :2 5=180°.

34 Вписанные углы Софизм – доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Софизмами называли группу древнегреческих философов IV-V вв. до нашей эры,достигших большого искусства в логике.

35 Хорда, не проходящая через центр, равна диаметру. Пусть в окружности проведен диаметр АВ. Через точку В проведем какую- либо хорду ВС, не проходящую через центр, затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АЕ. Наконец, точки Е и С соединим отрезком прямой. Рассмотрим АВD и ЕDС. В этих треугольниках: ВD=DC (по построению), А = С (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, ВDА= ЕDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит, ВDА= ЕDC, а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Поэтому, АВ=ЕС.

36 Найдем ошибку По теореме о признаке равенства треугольника: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. А в нашем случае, угол А не прилежит к стороне ВD.

37 Вписанные углы Тест на оптическую иллюзию по рисункам с альтернативным ответом. Оптическую иллюзию мы довольно часто наблюдаем и даже применяем в нашей практике, но очень мало знаем ее сущность. Иллюзию зрения используют архитекторы при постройке зданий, модельеры при создании моделей, художники при создании декораций. Нам известно, что тело, окрашенное в светлые тона, кажется больше, чем тело того же размера, окрашенное в темный тон. Бывают причины, вызывающие оптические иллюзии.

38 Вписанные углы Тест 1 1.

39 Вписанные углы Тест 2 Тест 3 Тест 2 Тест 3 В окружность вписан: 1. квадрат 2. близкая к квадрату фигура Тест 2, 3: Здесь доминирующими являются окружности. Углы вписанные в окружность, образуют в первом случае квадрат, во втором правильный треугольник. Эти фигуры за счет множества окружностей выдают себя, как фигуры приближенные к квадрату и треугольнику. Стороны кажутся вогнутыми во внутрь. Итак, иллюзию мы можем применять на практике, в повседневной жизни. Например, с ее помощью можно скрывать недостатки формы лица, фигуры. В окружность вписан: 1. треугольник 2. близкая к треугольнику фигура

40 Вписанные углы Цветочная клумба Дана клумба круглой формы, на одной из хорд которой посажены розы. В каких разных местах клумбы должны быть посажены три куста роз таким образом, чтобы с этих точек все розы были видны под одним и тем же углом?

41 Вписанные углы Усвоив теорему о величине вписанного угла в окружность, делаем Вывод, т.к. из всех точек окружности, кроме концов хорды, эта хорда видна под одним и тем же углом, мы можем посадить кусты роз в любой точке на окружности клумбы, кроме точек М и N. Это одно из практических применений теоремы о величине вписанного угла в окружность.

42 Вписанные углы Домашнее задание. п. 71, выучить определение вписанного угла; выучить теорему о вписанном угле, (записав доказательство 3 случая) и два следствия из нее;

43 Вписанные углы