Тема Реферата : Применение формулы Тейлора. Выполнила : Еремина Е., гр.2 г 21 Руководитель : Тарбокова Т. В. - презентация

1 Тема Реферата : Применение формулы Тейлора. Выполнила : Еремина Е., гр.2 г 21 Руководитель : Тарбокова Т. В.

2 Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

3 Многочленом Тейлора степени n в точке x 0 называется многочлен P(x) степени n, такой, что его значение и значение всех его производных, вычисленные в точке x 0, равны соответствующим значениям функции f(x) и её производных f (k) (x) до порядка n в этой же точке : P ( k ) ( x 0 )= f ( k ) ( x 0 ); k =0,1,2,3,…,n. Для нахождения вида многочлена Тейлора для заданной функции любой многочлен P(x) степени n вида P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +…+ a n-1 x + a n можно представить в виде, расположенном по степеням бинома (x-x 0 ): P(x) = a 0 (x-x 0 ) n + a 1 (x-x 0 ) n-1 + a 2 (x-x 0 ) n-2 +…+ a n-1 (x-x 0 )+ a n, Многочлен Тейлора.

4 Разность между функцией f(x) и её многочленом Тейлора называется n- м остатком, или n- м остаточным членом ; обозначим этот остаток через R n (x)= f(x) - P(x). Формула f(x)= P(x)+ R n (x), в более развёрнутой форме, имеющая вид, называется формулой Тейлора для функции f(x) в точке x 0, а представление функции f(x) в таком виде - её разложением по формуле Тейлора. Разложение функций по формуле Тейлора

5 Рассмотрим функцию f(x)= e x. Все её производные совпадают с ней : f (k) (x)=e x, так что коэффициенты Тейлора в точке x 0 =0 равны,k=0,1,2…n Поэтому формула Тейлора для f(x)= e x такова : Примеры разложения некоторых функций по формуле Тейлора

6 Для 8 членов разложения : e = 2, Для 10 членов разложения : e = 2, Для 100 членов разложения : e = 2, Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться шестью - семью членами ряда. Пример : Найдем значение числа е. В полученной ранее формуле положим х = 1:

7 Заключение В ходе исследования : В источниках был изучен вывод формулы Тейлора и ее практическое применение ; Были рассмотрены примеры разложения элементарных функций по формуле Тейлора.

8 Спасибо за внимание !