Комплексные числа Докладчик: студент гр.2г21, Михайлова Ксения Томск 2013. - презентация

1 Комплексные числа Докладчик: студент гр.2г21, Михайлова Ксения Томск 2013

2 Комплексные числа расширение поля вещественных чисел, обычно обозначается «С». Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма X+iY, где X и Y вещественные числа, i мнимая единица.

3 Комплексное число Z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел (x,y). Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

4 Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать мнимой единице

5 Ошибочно определение числа как единственного числа, удовлетворяющего уравнению, т.к число также удовлетворяет этому уравнению. Следует также заметить, что выражение, ранее часто использовавшееся вместо, не вполне корректно, т.к алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до конца XIX века запись вроде считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как

6 Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи: В то время как правильная запись приводит к иному ответу:

7 Сравнение: a+bi = c+di означает, что a=c и b=d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части). Сложение: (a+bi)+(c+di)=(a+c)=(b+d)i. Вычитание: (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

8 Умножение: Деление:

9

10 Запись комплексного числа z в виде x+iy, где x и - алгебраическая форма комплексного числа.

11 Если вещественную X и мнимую Y части комплексного числа выразить через модуль r=|z| и аргумент (, ), то всякое комплексное число Z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера: где расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

12 Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

13 Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано, который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли. Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

14