Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. Дифференциальные уравнения Тема: Понятие устойчивости решения ДУ. - презентация

1 Лектор Пахомова Е.Г г. Дифференциальные уравнения Тема: Понятие устойчивости решения ДУ

2 §16. Понятие устойчивости решения ДУ 1. Предварительные замечания ТЕОРЕМА 1 (о непрерывной зависимости решения от началь- ных условий). Пусть для уравнения y = f(x,y) выполняются два условия: 1) f(x,y) непрерывна в некоторой области D плоскости xOy, 2) в области D ограничена. Тогда для любой точки M 0 (x 0,y 0 ) D решение y = (x), удов- летворяющее начальному условию y 0 = (x 0 ), непрерывно зависит от начальных данных на отрезке [a;b], содер- жащем x 0. Если решение задачи Коши, единственно и непрерывно зависит от начальных данных, то говорят, что задача Коши поставлена корректно.

3 2. Устойчивость по Ляпунову

4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решение y = (x) уравнения y = f(x,y) называ- ется устойчивым по Ляпунову при x +, если для любого > 0 существует > 0 такое, что для всякого ре- шения y = ỹ(x) этого уравнения из неравенства (2) следует неравенство (3) для всех x x 0. (т.е. решения, близкие по начальным значениям к решению y = (x), остаются близкими и при всех x x 0 ).

5 Геометрический смысл определения Решение y = (x) устойчиво, если для любой -полоски, содержащей кривую y = (x), достаточно близкие к ней при x = x 0 интегральные кривые y = ỹ(x) целиком содержатся в указанной -полоске при всех x x 0.

6 Если при сколь угодно малом > 0 хотя бы для одного решения y = ỹ(x) уравнения (1) неравенство (3) не выполняется, то решение y = (x) этого уравнения называется неустойчивым. Неустойчивым следует считать и решение, не продолжаемое вправо при x +.

7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решение y = (x) уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если 1) решение y = (x) устойчиво, 2)существует 1 > 0 такое, что для любого решения y = ỹ(x) уравнения (1), удовлетворяющего условию имеем(4) (т.е. все решения y = ỹ(x), близкие по начальным условиям к асимптотически устойчивому решению y = (x), не только остаются близкими к нему при x x 0, но и неограниченно сближаются с ним при x + ).

8

9

10