Www.themegallery.com Company Logo Предел функции по Коши Пусть функция у = f(x) определена в окрестности точки x 0. В самой точке x 0 функция может быть. - презентация

1 Company Logo Предел функции по Коши Пусть функция у = f(x) определена в окрестности точки x 0. В самой точке x 0 функция может быть и не определена. Определение. Число А называется пределом функции f(x) при x x 0 если по любому сколь угодно малому положительному числу ε всегда можно найти положительное δ такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < |x - x 0 | < δ будет выполняться неравенство | f(x) – A | < ε. Краткая запись определения: x y f(x) A x0x0 2δ2δ 2ε2ε x 0 +h 2 x 0 -h 1 A-ε A+ε >0, >0, | x 0 |f(x) – А|

2 Company Logo обозначение предела краткая запись определения Геометрическая иллюстрация пример x y f(x) A x0x0 2δ2δ 2ε2ε x y x0x0 2ε2ε 2δ2δ f(x) называется б. м., если f(x) называется б. б., если f(x) называется б. б., если >0, >0, | x 0< | х – x 0 | < =>|f(x) – A|< >0, >0, | x 0< | х – x 0 | < =>|f(x)|< >0, >0, | x 0< | х – x 0 | < =>f(x)>1/

3 Company Logo обозначение предела краткая запись определения Геометрическая иллюстрация пример >0, >0, | x | х| >1/ =C =>|f(x) – A|< x y f(x) 2ε2ε A C -C x y f(x)

4 Company Logo Предел функции по Гейне Пусть функция у = f(x) определена в окрестности точки x 0. В самой точке x 0 функция может быть и не определена. Определение. Вещественное число А называется пределом функции f(x) при х x 0, если для любой последовательности x n значений аргумента, стремящейся к x 0 соответствующая последовательность значений функции f(x n ) сходиться к А. При этом предполагается, что последовательность x n D(f) и..

5 Company Logo Свойства пределов 1.Если предел функции f(x) при х x 0 существует, то он единственный. 2.Если функция f(x) при х x 0 имеет конечный предел, то она ограничена в некоторой окрестности точки x Теорема. Функция имеет предел тогда и только тогда, когда ее можно представить как сумму постоянной, равной этому пределу и бесконечно малой величины.

6 Company Logo Свойства пределов 4.Если функции f(x) и g(x) имеют предел при х x 0, то их сумма, разность, произведение и частное имеют предел при х x 0, причем a) ; b) ; c) d)Если функция f(x) имеет предел при х x 0, то произведение с*f(x) имеет предел при х x 0, с – константа, причем. 5.Пусть и существует проколотая окрестность U*(x 0, ) такая, что f(x)>0 x U*(x 0, ), тогда А 0.

7 Company Logo Свойства пределов 6.Пусть и пусть и f(x) < g(x) x U*(x 0, ) (или f(x) g(x)), тогда А B. 7.Пусть x U*(x 0, ) выполняется f(x) g(x) (x). Если существует и существует, причем, то существует и. 8.(Свойство о пределе композиции функций). Пусть и существуют тогда g(f(x))=g f имеет предел при х x 0, причем.

8 Company Logo Свойства б.м. функции 1.(О роли б.м. в теории пределов). 2.Сумма, разность, произведение двух б.м. при x x 0 есть функция б.м. при x x 0. 3.Пусть (x) - б.м. при x x 0, f(x) – ограниченна в U*( x 0, ), тогда (x) f(x) – б.м. при x x 0. 4.Если (x) - б.м. при x x 0, то с (x) - б.м. при x x 0, с-константа. 5.(Связь между б.м. и б.б.) Если функция у = f(x) – б.м. при x x 0 и f(x) 0 в некоторой окрестности точки x 0, то функция y = 1/f(x) – б.б. при x x 0. Если функция у = f(x) - б.б. при x x 0, и f(x) 0 в некоторой окрестности точки x 0, то функция y = 1/f(x) – б.м. при x x 0.

9 LOGO Спасибо за внимание