Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление. - презентация

1 Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В векторной алгебре изучаются линейные операции над свободными векторами (сложение векторов и умножение вектора на число) и различные произведения векторов (скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное и двойное векторное). В векторном анализе изучают векторы, являющиеся функциями одного или нескольких скалярных аргументов.

2 § 1. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектором называется направленный отрезок (т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец).

3 Расстояние от начала вектора до его конца называется длиной (или модулем) вектора. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными (параллельными).

4

5 Все нулевые векторы считаются равными Три вектора, лежащие в одной или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

6 2. Линейные операции на множестве векторов 1) Умножение на число; 2) Сложение векторов

7

8

9 СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ НАД ВЕКТОРАМИ

10 3. Понятия линейной зависимости и независимости. Базис ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что векторы ā 1, ā 2, …, ā k линейно зависимы, если существуют числа 1, 2, …, k, не все равные нулю и такие, что линейная комбинация 1 · ā · ā 2 + …+ k · ā k равна нулевому вектору ō Если равенство 1 · ā · ā 2 + …+ k · ā k = ō возможно только при условии 1 = 2 = …= k =0, то векторы ā 1, ā 2, …, ā k называют линейно независимыми. ЛЕММА 2 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов). Векторы ā 1, ā 2, …, ā k линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся. Замечание. Часто в качестве определения линейно зависимых векторов берут формулировку леммы 2.

11 Пусть V (3) (V (2) ) – множество свободных векторов пространства (плоскости). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Максимальное линейно независимое множество векторов в V (3) (V (2) ) называется базисом этого множества. Иначе говоря, векторы ā 1, ā 2, …, ā n V (3) (V (2) ) образуют базис в этом множестве если выполняются два условия: 1) ā 1, ā 2, …, ā n – линейно независимы; 2) ā 1, ā 2, …, ā n, ā – линейно зависимы для любого вектора ā из V (3) (V (2) ). ТЕОРЕМА 3. Любые два базиса множества V (3) (V (2) ) состоят из одного и того же числа векторов. ЛЕММА 4 (о базисе V (3) и V (2) ). 1) Базисом множества V (2) являются любые два неколлинеарных вектора. 2) Базисом множества V (3) являются любые три некомпланарных вектора.

12 СЛЕДСТВИЕ (критерий линейной зависимости 2-х и 3-х ненулевых векторов). 1) Два ненулевых вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. 2) Три ненулевых вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны ТЕОРЕМА 5 (о базисе). Каждый вектор множества V (3) (V (2) ) линейно выражается через любой его базис, причем единственным образом.