Нелинейные уравнения (продолжение) 2. Метод хорд. Процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения точек. - презентация

1 Нелинейные уравнения (продолжение) 2. Метод хорд. Процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения точек пересечения хорды с осью абсцисс. ( Для определенности примем )

2 Сначала находим уравнение хорды ab :

3 Для точки пересечения ее с осью абсцисс получим уравнение

4 Далее, сравнивая знаки величин и для рассматриваемого случая, приходим к выводу, что корень находится в интервале так как. Отрезок отбрасываем. и т.д.

5 В качестве условия окончания итераций используется условие близости двух последовательных приближений

6

7 3. Метод Ньютона (метод касательных). метод состоит в том, что на k-й итерации проводится касательная к кривой у = F(x) и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс.

8 При этом не обязательно задавать отрезок, содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня

9 Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке имеет вид

10 Отсюда найдем следующее приближение корня как абсциссу точки пересечения касательной с осью х (у = 0):

11 Аналогично формула для k-го приближения имеет вид необходимо, чтобы не равнялась нулю.

12

13 для погрешности корня имеет место соотношение

14 4. Метод простой итерации. Для использования этого метода исход- исходное нелинейное уравнение записывается в виде

15 Пусть известно начальное приближение корня Подставляя это значение в правую часть уравнения получаем новое приближение

16 Подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение получаем последовательность значений

17 Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т. е. если выполнено неравенство