НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Уравнения с одним неизвестным. - презентация

1 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Уравнения с одним неизвестным

2 Нелинейные уравнения: алгебраические (содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные) трансцендентные (содержащие другие функции (тригонометрические, показа- показательные, логарифмические и др.)).

3 1. Метод деления отрезка пополам (метод бисекции). Пусть мы нашли отрезок, на котором функция меняет знак, т.е. на котором находится значение корня, т. е. В качестве начального приближения корня принимаем середину этого отрезка:

4 Далее исследуем значения функции на концах отрезков и Тот из отрезков, на концах которого принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; поэтому его принимаем в качестве нового отрезка.

5 В качестве первого приближения корня принимаем

6 Таким образом, k-е приближение вычисляется как

7 после каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, а после k итераций он сокращается в 2k раз:

8 Пусть приближенное решение требуется найти с точностью до некоторого заданного малого числа : Взяв в качестве приближенного решения k-е приближение корня:, учитывая, что получим

9 Последнее неравенство выполнено, если

10

11 метод деления отрезка пополам всегда сходится, причем можно гарантировать, что полученное решение будет иметь любую наперед заданную точность.

12 2. Метод хорд. Процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения точек пересечения хорды с осью абсцисс. ( Для определенности примем )

13 Сначала находим уравнение хорды ab :

14 Для точки пересечения ее с осью абсцисс получим уравнение

15 Далее, сравнивая знаки величин и для рассматриваемого случая, приходим к выводу, что корень находится в интервале так как. Отрезок отбрасываем. и т.д.

16 В качестве условия окончания итераций используется условие близости двух последовательных приближений

17

18 3. Метод Ньютона (метод касательных). метод состоит в том, что на k-й итерации проводится касательная к кривой у = F(x) и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс.

19 При этом не обязательно задавать отрезок, содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня

20 Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке имеет вид

21 Отсюда найдем следующее приближение корня как абсциссу точки пересечения касательной с осью х (у = 0):

22 Аналогично формула для k-го приближения имеет вид необходимо, чтобы не равнялась нулю.

23

24 для погрешности корня имеет место соотношение

25 4. Метод простой итерации. Для использования этого метода исход- исходное нелинейное уравнение записывается в виде

26 Пусть известно начальное приближение корня Подставляя это значение в правую часть уравнения получаем новое приближение

27 Подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение получаем последовательность значений

28 Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т. е. если выполнено неравенство