Производная и дифференциал.. Геометрический смысл производной секущая Будем М М 0. Тогда секущая М 0 М занимает соответственно положения М 0 М 1, М 0. - презентация

1 Производная и дифференциал.

2 Геометрический смысл производной секущая Будем М М 0. Тогда секущая М 0 М занимает соответственно положения М 0 М 1, М 0 М 2, и т.д. Т.е. прямая займет некоторое предельное положение при М М 0 – это и будет касательная к кривой. М касательная М1М1 М2М2 М0М0

3 x y 0 y = x 3 y 0 y = |x| y x x 0 Касательная может пересекать кривую (ось ОХ) Касательной может не существовать Касательная может иметь с кривой несколько общих точек

4 Прямая, проходящая через точку М 0 перпендикулярно касательной в этой точке, называется нормалью к кривой в точке М 0. касательная нормаль М0М0

5 Рассмотрим функцию y=f(x). y y=f(x) M0M0 y ΔyΔy ΔxΔx x+ Δ x x x M f(x+ Δ x)= =y+ Δ y y=f(x) 1) зададим аргументу х приращение Δ х, тогда y+ Δ y=f(x+ Δ x) 2) проведём секущую ММ 0 3) - угол, образованный секущей с положительным направлением оси ОХ.

6 5) пусть М М 0, тогда Δ х 0, будет меняться ( ) и секущая ММ 0 становится касательной. y y=f(x) M0M0 y ΔyΔy ΔxΔx x+ Δ x x x M f(x+ Δ x)= =y+ Δ y y=f(x)

7 y M0M0 y ΔyΔy ΔxΔx x+ Δ x x x M f(x+ Δ x)= =y+ Δ y y=f(x) Геометрический смысл производной: Производная функции y=f(x) в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции f(x) в этой точке.

8 Уравнение касательной и нормали. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: т.к., то уравнение касательной в точке х 0 :

9 Для перпендикулярных прямых с угловыми коэффициентами k и k 1 :, то уравнение нормали в точке х 0 :

10 если, то касательная параллельна оси ОХ: нормаль перпендикулярна оси ОХ: если, то касательная перпендикулярна оси ОХ: нормаль параллельна оси ОХ:

11 Пример 1. Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке х=2. Найдем ординату: Итак Уравнение касательной:

12 уравнение нормали: касательная нормаль

13 Пример 2. В какой точке касательная к кривой наклонена к оси ОХ под углом 45º? Ответ: (1; 0) =45 у = х - 1

14 Физический смысл производной средняя скорость движения точки за время Δ t: мгновенная скорость точки в момент времени t:

15 Скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.

16 Пример 1. Тело движется прямолинейно по закону Определить, в какие моменты времени 1) тело было в начальном пункте; 2) его скорость равна 0.

17 1) тело было в начальном пункте

18 2) его скорость равна 0

19 Ответ: 1) тело было в начальном пункте в моменты времени 0 сек и 8 сек; 2) скорость тела равна 0 в моменты времени 0 сек, 4 сек и 8 сек.

20 Пример 2. Стороны a и b прямоугольника изменяются по закону С какой скоростью изменяется его площадь S в момент времени t=4 сек? Находим

21 Физический смысл производной Если закон физического процесса является функцией времени, то скорость протекания процесса есть производная этой функции по времени.

22 Примеры использования производной при определении скорости различных процессов: Если Q=Q(t)- количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент времени t равна Если N=N(t)- количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t, то скорость химической реакции в момент времени t равна

23 Если m=m(x)- масса неоднородного стержня между точками О(0;0) и М(х;0), то линейная плотность стержня в точке х есть Если = (t)- угол поворота, совершаемого при вращении твёрдого тела вокруг оси за время t, то угловая скорость тела в момент времени t равна