Урок на тему: Теорема Фалеса Автор: Дятченко Татьяна Юрьевна Учитель математики ГОУ СОШ 15. - презентация

1 Урок на тему: Теорема Фалеса Автор: Дятченко Татьяна Юрьевна Учитель математики ГОУ СОШ 15

2 Цель и задача урока Цель и задача урока Цель данного урока знакомство с жизнедеятельностью философа и мыслителя Фалеса и его теоремой; развитие «геометрического зрения», расширение кругозора в плане знакомства с историей развития математики. Цель данного урока знакомство с жизнедеятельностью философа и мыслителя Фалеса и его теоремой; развитие «геометрического зрения», расширение кругозора в плане знакомства с историей развития математики. Задачи: Задачи: - продемонстрировать возможности применения теоремы Фалеса в различных геометрических задачах - продемонстрировать возможности применения теоремы Фалеса в различных геометрических задачах - расширить представления о сферах применения полученных математических знаний; - расширить представления о сферах применения полученных математических знаний; - познакомиться с историческими сведениями об ученом Фалесе, о развитии математических знаний и их применениях - познакомиться с историческими сведениями об ученом Фалесе, о развитии математических знаний и их применениях

3 Фалес Фалес Фалес из Милета - первый древнегреческий мыслитель. По-видимому, он жил в годах до н.э. Он первый применил доказательство теорем и ввел их в обиход математики. Основатель милетской школы. Считался первым из Семи мудрецов Греции. Фалес из Милета - первый древнегреческий мыслитель. По-видимому, он жил в годах до н.э. Он первый применил доказательство теорем и ввел их в обиход математики. Основатель милетской школы. Считался первым из Семи мудрецов Греции.

4 Фалес считается родоначальником античной и, как следствие, европейской философии и науки. Считался первым из Семи мудрецов Греции. Фалес считается родоначальником античной и, как следствие, европейской философии и науки. Считался первым из Семи мудрецов Греции. Важнейшей заслугой Фалеса в области математики должно быть перенесенное им из Египта в Грецию первых начал теоретической элементарной геометрии. Эвдем, по свидетельству Прокла, приписывает Фалесу открытие следующих геометрических предложений: Важнейшей заслугой Фалеса в области математики должно быть перенесенное им из Египта в Грецию первых начал теоретической элементарной геометрии. Эвдем, по свидетельству Прокла, приписывает Фалесу открытие следующих геометрических предложений: Вертикальные углы равны. Вертикальные углы равны. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Треугольник определяется стороной и прилежащими к ней двумя углами. Треугольник определяется стороной и прилежащими к ней двумя углами. Диаметр делит круг на две равные части. Диаметр делит круг на две равные части.

5 Теорема Фалеса Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне С1С1 О B2B2 C2C2 A3A3 A1A1 A2A2 B1B1 B3B3

6 Доказательство: Пусть А 3 ОВ 3 – заданный угол, а А 1 В 1, А 2 В 2, и А 3 В 3 – попарно параллельные прямые и А 1 А 2 =А 2 А 3. Докажем, что В 1 В 2 =В 2 В 3. Проведем через точку В 2 прямую С 1 С 2 параллельную прямой А 1 А 3. По лемме А 1 А 2 =С 1 В 2, А 2 А 3 = В 2 С 2 и с учетом условия теоремы С 1 В 2 = В 2 С 2. Кроме того, В 1 С 1 В 2 = В 2 С 2 В 3 3– как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых А 1 В 1, А 3 В 3 и секущей С 1 С 2, а В 1 В 2 С 1 = С 2 В 2 В 3 как вертикальные. По второму признаку равенства треугольников В 1 С 1 В 2 = В 3 С 2 В 2. Отсюда В 1 В 2 = В 2 В 3. Теорема доказана. Пусть А 3 ОВ 3 – заданный угол, а А 1 В 1, А 2 В 2, и А 3 В 3 – попарно параллельные прямые и А 1 А 2 =А 2 А 3. Докажем, что В 1 В 2 =В 2 В 3. Проведем через точку В 2 прямую С 1 С 2 параллельную прямой А 1 А 3. По лемме А 1 А 2 =С 1 В 2, А 2 А 3 = В 2 С 2 и с учетом условия теоремы С 1 В 2 = В 2 С 2. Кроме того, В 1 С 1 В 2 = В 2 С 2 В 3 3– как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых А 1 В 1, А 3 В 3 и секущей С 1 С 2, а В 1 В 2 С 1 = С 2 В 2 В 3 как вертикальные. По второму признаку равенства треугольников В 1 С 1 В 2 = В 3 С 2 В 2. Отсюда В 1 В 2 = В 2 В 3. Теорема доказана.

7 Теорема Фалеса Теорема Фалеса Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. A1A1 A2A2 A3A3 B1B1 B2B2 B3B3 l1l1 l2l2 B4B4 A4A4

8 Доказательство: Пусть на прямой l 1 отложены равные отрезки A 1 A 2, A 2 A 3, А 3 А 4 и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l 2 в точках B 1, B 2, B 3, В 4 как рисунке 4. Требуется доказать, что отрезки B 1 B 2, B 2 B 3, В 3 В 4 равны друг другу. Докажем, что B 1 B 2 =B 2 B 3. Пусть на прямой l 1 отложены равные отрезки A 1 A 2, A 2 A 3, А 3 А 4 и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l 2 в точках B 1, B 2, B 3, В 4 как рисунке 4. Требуется доказать, что отрезки B 1 B 2, B 2 B 3, В 3 В 4 равны друг другу. Докажем, что B 1 B 2 =B 2 B 3. Рассмотрим случай, когда прямые l 1 и l 2 параллельны. Тогда A 1 A 2 =B 1 B 2 и A 2 A 3 =B 2 B 3 как противоположные стороны параллелограммов A 1 B 1 B 2 A 2 и A 2 B 2 B 3 A 3. Так как A 1 A 2 = A 2 A 3, то и B 1 B 2 =B 2 B 3. Теорема доказана. Рассмотрим случай, когда прямые l 1 и l 2 параллельны. Тогда A 1 A 2 =B 1 B 2 и A 2 A 3 =B 2 B 3 как противоположные стороны параллелограммов A 1 B 1 B 2 A 2 и A 2 B 2 B 3 A 3. Так как A 1 A 2 = A 2 A 3, то и B 1 B 2 =B 2 B 3. Теорема доказана.

9 Применение теоремы Фалеса к решению задач Применение теоремы Фалеса к решению задач Средняя линия треугольника Средняя линия треугольника Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. AB F D C E

10 Доказательство: Пусть отрезок DE – средняя линия в треугольнике ABC, т.е. AE = EC, CD = BD. Проведем через точку D прямую a, параллельную стороне AB. По теореме Фалеса прямая a пересекает сторону AC в ее середине и, следовательно, содержит среднюю линию DE. Значит, средняя линия DE параллельна стороне AB. Проведем среднюю линию DF. Она параллельна стороне AC. Тогда по лемме отрезок ED равен отрезку AF и равен половине отрезка AB. Теорема доказана. Пусть отрезок DE – средняя линия в треугольнике ABC, т.е. AE = EC, CD = BD. Проведем через точку D прямую a, параллельную стороне AB. По теореме Фалеса прямая a пересекает сторону AC в ее середине и, следовательно, содержит среднюю линию DE. Значит, средняя линия DE параллельна стороне AB. Проведем среднюю линию DF. Она параллельна стороне AC. Тогда по лемме отрезок ED равен отрезку AF и равен половине отрезка AB. Теорема доказана.

11 Задача 1 Задача 1 Дан треугольник АВС. На стороне ВС взята точка Р так, что ВР=РС, а на стороне АС взята точка Q такая, что АQ : QС = 5 : 3. Найдите отношение АО : ОР, если точка О – точка пересечения прямых АР и ВQ. Дан треугольник АВС. На стороне ВС взята точка Р так, что ВР=РС, а на стороне АС взята точка Q такая, что АQ : QС = 5 : 3. Найдите отношение АО : ОР, если точка О – точка пересечения прямых АР и ВQ.

12 Решение: Решение: Проведем прямые параллельные ВQ через точки А, Р и С. Точка D – это точка пересечения прямых АР и с. Проведем прямые параллельные ВQ через точки А, Р и С. Точка D – это точка пересечения прямых АР и с. По теореме Фалеса параллельные прямые ВQ, b и c, которые отсекают равные отрезки ВР и РС, отсекают равные отрезки ОР и РD на прямой АD. По теореме Фалеса параллельные прямые ВQ, b и c, которые отсекают равные отрезки ВР и РС, отсекают равные отрезки ОР и РD на прямой АD. По теореме Фалеса параллельные прямые a, BQ и с, которые отсекают на прямой АС отрезки в соотношении 5 : 3, отсекают и на прямой АD отрезки в соотношении 5 : 3. По теореме Фалеса параллельные прямые a, BQ и с, которые отсекают на прямой АС отрезки в соотношении 5 : 3, отсекают и на прямой АD отрезки в соотношении 5 : 3. То есть AQ : QC= 5:3 и AO : OD = 5:3, а отрезок OD=2OP. Следовательно, AO : OP = 10:3. То есть AQ : QC= 5:3 и AO : OD = 5:3, а отрезок OD=2OP. Следовательно, AO : OP = 10:3. Ответ: 10 : 3. Ответ: 10 : 3.

13 Задача 2 Разделите отрезок АВ при помощи циркуля и линейки на n равных частей. Разделите отрезок АВ при помощи циркуля и линейки на n равных частей. A X B B1B1 B2B2 B3B3 A1A1 A2A2 A3A3

14 Решение: Проведем луч AX, не лежащий на прямой AB, и на нем от точки A отложим последовательно n равных отрезков АА 1, А 1 А 2, …,А n-1 A n, т.е. на столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок AB. Проведем прямую A n B (точка А n – конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки A 1, A 2,…, A n-1 и параллельные прямые прямой AnB. Эти прямые пересекают отрезок AB в точках B 1, B 2, …, B n-1, которые по теореме Фалеса делят отрезок AB на n равных частей. Проведем луч AX, не лежащий на прямой AB, и на нем от точки A отложим последовательно n равных отрезков АА 1, А 1 А 2, …,А n-1 A n, т.е. на столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок AB. Проведем прямую A n B (точка А n – конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки A 1, A 2,…, A n-1 и параллельные прямые прямой AnB. Эти прямые пересекают отрезок AB в точках B 1, B 2, …, B n-1, которые по теореме Фалеса делят отрезок AB на n равных частей.

15 Задача 3 Задача 3 Разделите данный отрезок АВ на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам P 1 Q 1 и P 2 Q 2. Разделите данный отрезок АВ на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам P 1 Q 1 и P 2 Q 2.

16 Решение: Проведем какой-нибудь луч АМ, не лежащий на прямой АВ, и на этом луче отложим последовательно отрезки АС и CD, равные отрезкам P 1 Q 1 и P 2 Q 2. Затем проведем прямую BD и прямую, проходящую через точку С параллельно прямой BD. Она по теореме Фалеса пересечет отрезок АВ Проведем какой-нибудь луч АМ, не лежащий на прямой АВ, и на этом луче отложим последовательно отрезки АС и CD, равные отрезкам P 1 Q 1 и P 2 Q 2. Затем проведем прямую BD и прямую, проходящую через точку С параллельно прямой BD. Она по теореме Фалеса пересечет отрезок АВ в искомой точке Х. в искомой точке Х.

17 Заключение: В представленной работе рассмотрена теорема величайшего математика – ученого – мыслителя Фалеса, задачи, в решении которых применяется различные варианты этой теоремы. В представленной работе рассмотрена теорема величайшего математика – ученого – мыслителя Фалеса, задачи, в решении которых применяется различные варианты этой теоремы. Решение геометрических задач различными способами является исследовательской частью данного урока и дает возможность сравнить разные способы решения и проанализировать их появление. Решение геометрических задач различными способами является исследовательской частью данного урока и дает возможность сравнить разные способы решения и проанализировать их появление.