На тему: «Треугольники» Выполнили: Ученицы 9б класса МСОШ Якубова Анастасия, Симушкина Вероника Руководитель: Радченко Л.А. - презентация

1

2 На тему: «Треугольники» Выполнили: Ученицы 9б класса МСОШ Якубова Анастасия, Симушкина Вероника Руководитель: Радченко Л.А

3 О О ПППП РРРР ЕЕЕЕ ДДДД ЕЕЕЕ ЛЛЛЛ ЕЕЕЕ НННН ИИИИ ЕЕЕЕ В В ИИИИ ДДДД ЫЫЫЫ С С ВВВВ ОООО ЙЙЙЙ СССС ТТТТ ВВВВ АААА Т Т ЕЕЕЕ ОООО РРРР ЕЕЕЕ ММММ ЫЫЫЫ З З З АААА ДДДД АААА ЧЧЧЧ ИИИИ Н Н ЕЕЕЕ ВВВВ ЕЕЕЕ РРРР ОООО ЯЯЯЯ ТТТТ НННН ОООО,,,, Н Н Н Н ОООО Ф Ф Ф Ф АААА КККК ТТТТ !!!! !!!! !!!!

4 ТРЕУГОЛЬНИК – ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА, СОСТОЯЩАЯ ИЗ ТРЁХ ТОЧЕК, СОЕДИНЁННЫХ МЕЖДУ СОБОЙ ОТРЕЗКАМИ ТОЧКИ – ВЕРШИНЫ. ОТРЕЗКИ – СТОРОНЫ. ДОМОЙ

5 ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ТУПОУГОЛЬНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ОСТРОУГОЛЬНЫЕ РАВНОБЕДРЕННЫЕ

6 ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ РАВНОБЕДРЕННЫХ РАВНОБЕДРЕННЫХ РАВНОБЕДРЕННЫХ ПОДОБНЫХ ПОДОБНЫХ ПОДОБНЫХ РАВНОСТОРОННИХ РАВНОСТОРОННИХ РАВНОСТОРОННИХ ДОМОЙ

7 об отношении площадей подобных треугольников об отношении площадей подобных треугольников об отношении площадей подобных треугольников об отношении площадей подобных треугольников о средней линии треугольника о средней линии треугольника о средней линии треугольника о средней линии треугольника Пифагора Пифагора Пифагора ДОМОЙ

8 отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. в меню ДОКАЖЕМ? S : S = K

9 Теорема: средняя линия ll ll одной из его сторон и = ½ этой стороны. – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА Докажем? А С В 2 1 M N в меню

10 MN MN – средняя линия. BMN BMN и BAC BAC ~по 2 признаку подобия, поэтому 1 = углу 2 и MN = ½АС. А С В 2 1 M N в меню ДОМОЙ

11 АВС подобен АВ С. АВС подобен АВ С. Так как угол А равен углу А => S:S1=AB*AC:A B * A C. По формулам имеем: АВ:A B =k, AC:A С =k S : S = K А В С А В С в меню ДОМОЙ

12 В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. b c a с²= а²+b² Докажем? в меню

13 Рассмотрим прямоугольный треугольник Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. Достроим треугольник до квадрата со стороной Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b так, как показано на рисунке. a + b так, как показано на рисунке. Площадь этого квадрата равна (a +b)² С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников. Площадь каждого из равна ½ab. Площадь квадрата S=4*½ ab+c²= 2ab+c² Площадь квадрата S=4*½ ab+c²= 2ab+c² Таким образом, (a+b)²=2ab+c², откуда c²=a²+b². a a b b bbbbbbbb c c c c a a b в меню ДОМОЙ

14 Равнобедренный - треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны – боковые стороны. Третья сторона – основание основание Б о к о в а я с т о р о н а Б о к о в а я с т о р о н а в меню ДОМОЙ

15 У У гггг лллл ыыыы п п п п рррр ииии о о о о сссс нннн оооо вввв аааа нннн ииии ииии р р р р аааа вввв нннн ыыыы.... Биссектриса,,,, п п п п рррр оооо вввв ееее дддд ёёёё нннн нннн аааа яяяя к к к к оооо сссс нннн оооо вввв аааа нннн ииии юююю,,,, я я я я вввв лллл яяяя ееее тттт сссс яяяя м м м м ееее дддд ииии аааа нннн оооо йййй и и и и вввв ыыыы сссс оооо тттт оооо йййй.... ДОМОЙ

16

17 В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. A B C D Докажем? в меню

18 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. A BC D в меню Докажем?

19 Пусть AD - биссектриса треугольника ABC. ABD = ACD (AB = AC по условию, AD - общая сторона, углы 1 и 2 равны, так как AD – биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что углы B и C равны. Теорема доказана. A BC D Рассмотрим равнобедренный ABC с основанием BC и докажем, что углы B и C равны. в меню ДОМОЙ

20 ABC – равнобедренный с основанием BC. AD - его биссектриса. AD - его биссектриса. Из = ABD и ACD => точка D – середина стороны BC, AD – медиана треугольника ABC. Так как углы 3 и 4 смежные и =, то они прямые. => отрезок AD является также высотой треугольника ABC. Теорема доказана. Мы установили, что биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают. Поэтому : 1. высота = биссектриса = медиана. A B C D в меню ДОМОЙ

21 Начертите треугольник ABC с тремя острыми углами и треугольник MNP, у которого угол M тупой. С помощью чертёжного угольника проведите высоты каждого треугольника. С помощью чертёжного угольника проведите высоты каждого треугольника. ДОМОЙ Решим ещё? Решим ещё?

22 Начертите прямую а и отметьте точки A и B, лежащие по разные стороны от неё. С помощью чертёжного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а. ДОМОЙ Решим ещё? Решим ещё?

23 Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника. ДОМОЙ Решим ещё? Решим ещё?

24 ДОМОЙ

25

26

27 Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы. Решим ещё? Решим ещё? ДОМОЙ

28 Начертите прямую а и отметьте точки А и В, лежащие по разные стороны от прямой а. С помощью чертёжного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а. Решим ещё? Решим ещё? ДОМОЙ

29 Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был: а) острым б) прямым в) тупым Решим ещё? Решим ещё? ДОМОЙ

30 В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника. Решим ещё? Решим ещё? ДОМОЙ

31 Докажите, что в равнобедренных треугольниках медианы, проведенные к равным сторонам, равны. Решим ещё? Решим ещё? ДОМОЙ

32 Сторона АВ треугольника АВС равна 17 см, сторона АС в 2 раза больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 см меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника АВС. Решим ещё? Решим ещё? ДОМОЙ

33 Отрезки АС и BD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что АВС = СDА. Решим ещё? Решим ещё? ДОМОЙ

34 1 признак подобия: Теорема. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство: Пусть у треугольников АВС и А1В1С1, угол А равен углу А1, угол В равен углу В1. Докажем, что треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1. Пусть k = АВ/A1B1

35 2.Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором угол A – прямой, угол B = 30 градусов и, значит, что угол C = 60 градусам. Докажем, что AC = ½ BC A B C Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD. Получим треугольник BCD в котором B = D = 60, поэтому DC = BC. Но AC = ½ DC. Следовательно, AC = ½ BC, что и требовалось доказать.

36 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, у которого катет AC равен половине гипотенузы BC. Докажем, что угол AC = 30 градусам. Положим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD. Получим равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу, поэтому каждый из них равен 60 градусам. В частности, угол DBC = 60 градусам. Но угол DBC = 2 углам ABC. Следовательно, угол ABC = 30, что и требовалось доказать.

37 Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, раны, то такие треугольники подобны. А А1 В В1 С1 С АВ/A1B1=AC/A1C1

38 Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. А А1 В В1 С1С АВ /A1B1=BC/B1C1=CA/C1A1

39 S S` Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. S : S` = R² Докажем?

40 – это треугольники, у которых 2 угла равны соответственно, а стороны пропорциональны сходственным сторонам. ДОМОЙ в меню

41 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ: Задача 1 Задача 1 Задача 2 Задача 2 Задача 3 Задача 3 Задача 4 Задача 4

42

43 Признаки равенства треугольников: 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны. 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Практика Практика !

44 ДОМОЙ

45

46

47

48