{ определение – типы матриц – сложение матриц – умножение матриц – свойства операции умножения – умножение матрицы на число – полином от матриц – транспонирование. - презентация

1 { определение – типы матриц – сложение матриц – умножение матриц – свойства операции умножения – умножение матрицы на число – полином от матриц – транспонирование матрицы – примеры }

2 Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита и выделяют круглыми скобками (квадратными скобками, двойными прямыми, др.). Элементы матрицы обозначают той же буквой, но маленькой. Матрицей называется набор m n элементов множества K m,n, записываемый в виде прямоугольной таблицы. Элементы матрицы выделяют индексами, первый индекс обозначает номер строки, в которой находится элемент, а второй номер столбца.

3 Квадратная матрица A размерности n : Элементы a ii называют диагональными. Если все недиагональные элементы a ij = 0 при i не равном j, то эта матрица называется диагональной. Если сверх того все диагональные элементы равны друг другу, то матрица называется скалярной.

4 Скалярная матрица называется единичной E, если элементы матрицы равны единице. Треугольной называется матрица, все элементы которой, расположенные ниже (выше) диагонали, равны нулю: Нижняя треугольная матрица Верхняя треугольная матрица

5 Алгебраической суммой A + B называется m x n матрица C, такая что Сложение матриц ассоциативно и коммутативно. Матрица у которой все элементы равна нулю, называется нулевой – 0 m,n. Если у матриц A и B элементы равны, но отличаются знаком, то A + B = 0, т.е. B = - A. Пример A + 0 = A

6 Произведением m x n матрицы A на n x p матрицу B называется m x p матрица C = AB, элементы которой находятся по правилу Пример

7 @ Представить систему линейных уравнений в матричной форме Решение A X B 2x – y + z x + y + z -x + 3y - z

8 Умножение матриц ассоциативно (если для взятых матриц возможно умножение) Если матрица A – m x n матрица, то ее умножение на единичную E (при правильном выборе места расположения сомножителей) не меняет ее вида Если матрица A – квадратная матрица размерности n, то ее умножение на единичную E не зависит от порядка сомножителей в произведении Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения

9 Произведение матрицы на элемент кольца: Свойства

10 Пусть f(x) = a 0 + a 1 x + … + a n x n есть полином с коэффициентами a i. Значением полинома f(x) при x = A – полиномом f( A ) называют матрицу Пример f(x) = x 2 + x + 1

11 Транспонированием матрицы называют такое ее преобразование, при котором строки этой матрицы заменяются ее столбцами с теми же номерами. Операция транспонирования обозначается символом T Свойства Если произведение матриц A и B определено, то: Если A и B матрицы одинаковых размеров, то: Матрица A называется симметрической, если:

12 @ Транспонировать матрицу (A 2 + E 3 ), где Решение A2A2