{ алгоритм решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - действительные корни характеристического уравнения. - презентация

1 { алгоритм решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - действительные корни характеристического уравнения - кратные корни - сопряженные комплексные корни кратности m - общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка - метод вариации произвольных постоянных - метод подбора частного решения неоднородного уравнения – примеры }

2 Однородное уравнение Решение ищется в виде : Характеристическое уравнение

3 Действительные простые корни Определитель Вандермонда

4 Действительные корни кратности Для двух действительных кратных корней в уравнении: формула Остроградского - Лиувилля

5 Пара сопряженных комплексных корней Для двух комплексных корней в уравнении

6 пар сопряженных комплексных корней

7 @ Решить линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка Решение

8 @ Решить линейное однородное дифференциальное уравнение пятого порядка Решение

9 Решение ищется в виде Метод вариации произвольных постоянных – метод Лагранжа – общее решение однородного уравнения – частное решение неоднородного уравнения

10

11 @ Решить ЛНДУ третьего порядка Решение Пишем систему уравнений Лагранжа

12 @

13 @

14 @

15 – частное решение неоднородного уравнения Метод подбора частного решения используется в случае, если функция в правой части уравнения имеет специальный вид: Здесь и – действительные числа, p m (x) и q l (x) – многочлены с действительными коэффициентами степени m и l соответственно. Пример

16 Решение ищется в виде: Здесь и – те же числа, что в формуле для f(x) ; >= 0 - кратность корня для характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения, причем = 0 когда не является корнем уравнения; s – большее из чисел m и l – степеней многочленов p m (x) и q l (x) ; P s (x) и Q s (x) – многочлены степени s с неопределенными коэффициентами, подлежащими численному определению. Сформированное выражение для частного решения, после n - го дифференцирования, подставляется в исходное дифференциальное уравнение. Неопределенные коэффициенты находятся из равенства коэффициентов у функций в полученных уравнениях.

17 Найти частное решение ЛНДУ третьего порядка