Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии. - презентация

1 Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии

2 Цели: Образовательная: сформулировать понятие арифметической прогрессии, вывести формулу разности, рассмотреть примеры, формулу n-го члена; Развивающая: развитие следующих навыков: умение вычислять члены арифметической прогрессии, находить разность, определять является ли членом прогрессии числа, умения делать выводы, обобщать и конкретизировать, логического мышления, памяти; Воспитательная: воспитание трудолюбия и общения, аккуратности, повысить интерес к изучаемому материалу, развитие кругозора.

3 Этапы урока: Актуализация знаний Введение нового материала Закрепление нового материала Самостоятельная работа Подведение итогов урока

4 Актуализация знаний Вспомним определение последовательности! Последовательностью называется функция натурального аргумента, то есть функция, областью определения которой является множество N всех натуральных чисел. Функция, заданная на множестве, состоящем из нескольких первых натуральных чисел, называется конечной последовательностью. Выполните следующие задания: 1 задание 2 задание 3 задание

5 Изучение нового материала

6 В жизни часто бывает так, что величины изменяются с течением времени на одно и то же их значение. Когда поезд едет со скоростью 80 км/ч, он за каждый час увеличивает пройденный путь на одно и то же количество километров. Верблюд, идущий по пустыне, ежедневно уменьшает свои запасы воды в горбах на одну и ту же величину. Человек с каждым годом жизни увеличивает свой возраст на одно и то же время. А так же, уменьшает за каждый прожитый год на одну и ту же величину время, которое ему суждено прожить на этом свете. И даже толстяк, безуспешно применяющий модные диеты, каждые сутки изменяет свой вес на одну и ту же величину - на нуль килограммов. Всё это - примеры числовых последовательностей - примеры арифметической прогрессии.

7 Определение Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

8 То есть, последовательность (a n ) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального выполняется условие a n+1 = a n +d, где d - некоторое число.

9 Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна, т.е. при любом натуральном верно равенство a n+1 – a n = d. Число d называется разностью арифметической прогрессии. Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно узнать ее первый член и разность.

10 Рассмотрим примеры 1. Если a 1 =1 и d=1, то получим арифметическую прогрессию 1; 2; 3; 4; 5;…, члены которой – последовательные натуральным числа. 2. Если a 1 =1 и d=2, то получим арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7; 9;…, которая является последовательностью положительных нечетных чисел.

11 3. Если a 1 =-2 и d=-2, то получим арифметическую прогрессию -2; -4; -6; -8; -10;…, которая является последовательностью отрицательных четных чисел. 4. Если a 1 =7 и d=0, то имеем арифметическую прогрессию 7; 7; 7; 7; 7;…, все члены которой равны между собой.

12 На заметку! Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т.д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

13 По определению арифметической прогрессии a 2 =a 1 +d, a 3 =a 2 +d=(a 1 +d)+d=a 1 +2d, a 4 =a 3 +d=(a 1 +2d)+d=a 1 +3d, a 5 =a 4 +d=(a 1 +3d)+d=a 1 +4d. Точно так же находим, что a 6 = a 1 +5d, и вообще, чтобы найти a n, нужно к a 1 прибавить (n-1)d, т.е. a n =a 1 +(n-1)d. Получили формулы n-го члена арифметической прогрессии.

14 Рассмотрим примеры решения задач с использованием формулы n-го члена арифметической прогрессии 1. Последовательность (a n ) - арифметическая прогрессия, в которой a n =0,62 и d=0,24. Найдем пятидесятый член этой прогрессии. Решение: a 50 =0,62+0,24 ·(50-1)=12,38. Ответ: 12,38.

15 2. Выяснить, является ли число -122 членом арифметической прогрессии (a n ) 23; 17,2; 11,4; 5,6;…. Решение: В данной арифметической прогрессии a 1 =23 и d=a 2 -a 1 =17,2-23=-5,8. Запишем формулу n-го члена прогрессии: a n =23-5,8(n-1), т.е. a n =28,8-5,8n.

16 Число -122 является членом арифметической прогрессии (a n ), если существует такое натуральное число n, при котором значение выражения 28,8-5,8n равно Решим уравнение 28,8-5,8n=-122: 5,8n=150,8, n=26. Ответ: число -122 является 26-м членом данной арифметической прогрессии.

17 Формулу n-го члена арифметической прогрессии a n =a 1 +(n-1)d можно записать иначе: a n =dn+(a 1 -d). Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида a n =kn+b, где k и b - некоторые числа.

18 Верно и обратное: последовательность (a n ), заданная формулой вида a n =kn+b, где k и b - некоторые числа, является арифметической прогрессией.

19 Решение типичных задач Решение типичных задач

20 Откуда появилось понятие арифметической прогрессии

21 Первые представления об арифметической прогрессии были ещё у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать. Самая древнейшая задача на прогрессии о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда.

22 папирус Ринда

23 Историческая задача

24 Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

25 Решение. Количество хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член x, разность y. Тогда: Доля первого - x, Доля второго - x+y, Доля третьего - x+2y, Доля четвертого - x+3y, Доля пятого - x+4y.

26 На основании условия задачи, составляем следующие 2 уравнения: x+(x+y)+(x+2y)+(x+3y)+(x+4y)=100 7(x+(x+y))=(x+2y)+(x+3y)+(x+4y) После упрощения первое уравнение получит вид: x+2y=20, а второе 11x=2y. Решив эту систему, имеем: x=1 и y=9. Ответ: Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части: 1 ; 10 ; 20; 29 ; 38.

27 Самостоятельная работа Изучив материал урока «Арифметическая прогрессия», проверьте свои знания, ответив на вопросы итогового тестирования. тест