ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Уравнение линии на плоскости. Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих. - презентация

1 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

2 Уравнение линии на плоскости. Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.

3 Уравнение прямой на плоскости Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В, С не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

4 Расположение прямой относительно координатных осей C = 0, А 0, В 0 – прямая проходит через начало координат А = 0, В 0, С 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох В = 0, А 0, С 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу В = С = 0, А 0 – прямая совпадает с осью Оу А = С = 0, В 0 – прямая совпадает с осью Ох

5 Уравнение прямой по точке и вектору нормали. Уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (х 0, у 0 ), и перпендикулярной вектору с координатами ( а, в ) (нормальному вектору), получают на основе использования скалярного произведения двух векторов. Пусть, точка М(х, у) – произвольная точка прямой, тогда уравнение прямой: а(х-х 0 )+в(у-у 0 )=0, Заметим: в общем уравнении прямой, коэффициенты а и в – координаты нормального вектора

6 Уравнение прямой, проходящей через две точки. Пусть в плоскости заданы две точки M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки: Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять к нулю соответствующий числитель.

7 Уравнение прямой с угловым коэффициентом Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду: и обозначить : то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

8 Уравнение прямой по точке и направляющему вектору Определение. Каждый ненулевой вектор ( т, п ), параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой. Заметим: компоненты направляющего вектора удовлетворяют условию А т+ В п = 0 Уравнение прямой с направляющим вектором ( т, п ), проходящей через точку М 0 (х 0, у 0 ) имеет вид

9 Уравнение прямой в отрезках В общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С 0, разделив на –С, получим: или Последнее уравнение называется уравнением прямой в отрезках Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

10 Нормальное уравнение прямой Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число то получим: xcos + ysin - p = 0 нормальное уравнение прямой. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох. Знак нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы С < 0.

11 Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой. Определение. Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1, у 1 ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

12 Угол между прямыми. Определение. Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как Две прямые параллельны, если k 1 = k 2. Две прямые перпендикулярны, если k 1 = -1/k 2. Заметим: угол между прямыми можно находить через косинус угла между направляющими или между нормальными векторами прямых

13 Расстояние от точки до прямой. Если задана точка М(х 0, у 0 ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

14 Уравнение пучка прямых: Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром S. Если A 1 x + B 1 y + С 1 = 0 и А 2 х + В 2 у + С 2 = 0 уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S, то уравнение (А 1 х + В 1 у + С 1 ) + (А 2 х + В 2 у + С 2 ) = 0, где, какие угодно числа, не равные одновременно нулю, определяет прямую, также проходящую через точку S.