Статистическая проверка статистических гипотез. Эмпирический вариационный ряд и его график - вариационная кривая - не позволяют с полной уверенностью судить. - презентация

1 Статистическая проверка статистических гипотез. Эмпирический вариационный ряд и его график - вариационная кривая - не позволяют с полной уверенностью судить о законе распределения совокупности, из которой взята выборка. На величине любого варьирующего признака оказывается влияние многочисленных, в том числе и случайных, факторов, искажающих чёткую картинку варьирования. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить,что он имеет определённый вид (назовём его А), выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А..Таким образом,в этой гипотезе речь идёт о виде предполагаемого распределения.Есть гипотезы о предполагаемой величине параметра.Есть и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и.т.д.

2 1.Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распре- деления, или о параметрах известных распределений. Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противореча- щую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. По этой причине эти гипо- тезы целесообразно различать. Def: Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н о Def: Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н 1, которая противоречит Н о Различают гипотезы, которые содержат только одно и более одного предложений. Def: Простой называют гипотезу, содержащую только одно предпо- ложение. Def: Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

3 Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость её проверки. Поскольку проверку проводят статистическими методами её называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены оши- бки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правиль- ная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправиль- ная гипотеза. Замечание: Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через α; Её называют уровнем значимости.

4 Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 v 0,01. Если, п-р, принят уровень значимости, равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста есть риск пропустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу) Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобран- ную случайную величину, точное или приближённое распределение которой известно. Эту величину обозначают через Т или Z, если она распределена нормально, F или V 2 - по закону Фишера-Спедекора, Т – по закону Стьюдента, χ 2 – по закону кси - квадрат и.т.д. Поскольку при изложении материала вид распределения во внимание приниматься не будет, обозначим эту величину в целях общности через К. Def: Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипо- тезы.

5 Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частичные значения входящих в критерий величин и таким образом получают частное (наблюдаемое) значение критерия. Def: Наблюдаемым значением К набл называют значение критерия, вычисленное по выборкам. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки После выбора определённого критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества:одно из них содержит значения критерия,при которых нулевая гипотеза отвергается, а другая - при которых она принимается. Def: Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается.

6 Def: Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипо- тезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформу- лировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значе- ние критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают. Поскольку критерий К – одномерная случайная величина, все её значения (возможные) принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также является интервалами и, следовательно, существуют точки, которые их разде- ляют. Def: Критическими точками (границами) К кр называют точки, отде- ляющие критическую область от области принятия гипотезы.

7 Def: Правосторонней называют критическую область определя- емую неравенством К>k кр, где k кр – положительное число 0 k кр Def: Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством Кk 1

8 В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенства- ми (в предположении, что k кр >0): К k пр, или равносильным неравенством К > k кр. -k кр 0 k кр К Как найти критическую область? Для отыскания правосторонней критической области достаточно найти критическую точку. Для её нахождения задаются достаточно малой вероятностью- уровнем значимости α. Затем ищут критическую точку k кр, исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий К примет значение, больше k кр,была равна принятому уровню значимости. Р (К>k кр )= α ( )

9 Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку,удовлетворяющую этому требованию. Замечание 1. Когда критическая точка уже найдена,вычисляют по данным выборок наблюдаемое значение критерия и, если окажется, что К набл > k кр, то нулевую гипотезу отвергают, если же К набл

10 В этом случае, отвергнув правильную нулевую гипотезу, совершают ошибку первого рода. Вероятность этой ошибки равна уровню зна- чимости α. Итак, пользуясь требованием ( ), мы с вероятностью α рискуем совершить ошибку первого рода. Заметим кстати, что в книгах по контролю качества продукции веро- ятность признать негодной партию годных изделий называют риском производителя, а вероятность принять негодную партию – риском потребителя. Замечание 3 Пусть нулевая гипотеза принята; ошибочно думать, что тем самым она доказана. Действительно, известно, что один пример, подтвер- ждающий справедливость некоторого общего утверждения, ещё не доказывает его. Поэтому более правильно говорить: данные наблю- дений, согласуются с нулевой гипотезой, и, следовательно, не даёт оснований её отвергнуть. На практике для большей уверенности принятия гипотезы её прове- ряют другими способами или проверяют экспериментом, увеличив объём выборки.

11 Левосторонняя критическая область определяется неравенством К