МАРКОВСКИЙ ПРОГНОЗ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СОБЫТИЙ МЕТОДАМИ ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Главная Астрономическая Обсерватория РАН Санкт-Петербург Н.Г. Макаренко «Физика. - презентация

1 МАРКОВСКИЙ ПРОГНОЗ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СОБЫТИЙ МЕТОДАМИ ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Главная Астрономическая Обсерватория РАН Санкт-Петербург Н.Г. Макаренко «Физика плазмы в солнечной системе» февраля 2009 г., ИКИ РАН

2 ЭВРИСТИКА: ИЗ РЯДОВ В ТЕКСТЫ ОБОБЩЕНИЕ: k-порогов, k-ичный алфавит – k-ичное разложение Всего слов длины Бинарный алфавит

3 НАИВНЫЙ ПРОГНОЗ ОДНАКО: Наблюдаемый текст может не содержать всех возможных словНаблюдаемый текст может не содержать всех возможных слов СЛЕДОВАТЕЛЬНО НУЖНА МОДЕЛЬ! Гистограмма эмпирической меры

4 ЭВРИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Динамическая модель носителя меры. Динамическая модель меры.

5 Мультифрактальный формализм Спектр:

6 Гистограмма встречаемости бинарных слов (l=10, порог 15) в ряде трехчасовых значений Ар-индекса ( гг.) Вероятностные меры геомагнитных индексов имеют мультифрактальные свойства!

7 СИМВОЛИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА Анри Пуанкаре (1854 – 1912 ) для определим разбиение Крупнозернистая динамика:

8 ИНВАРИАНТНАЯ НАТУРАЛЬНАЯ МЕРА. Пусть для случайной орбиты Инвариантная мера интервала: число точек, попавших в

9 Эмпирическая мера частоты встречаемости слов стационарна! Эмпирические меры символических рядов МультифрактальныМультифрактальны Стационарны (эргодичны)Стационарны (эргодичны) КАК ПОСТРОИТЬ ДИНАМИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ?

10 ПЛАН ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ ПРЕДПОЛОЖИМ ЧТО: Г истограмма слов является эмпирической оценкой инвариантной эргодической меры динамической системы Носителем меры является единичный интервал Мера обладает самоподобными( мультифрактальными) свойствами. Она стационарна НАЙДЕМ: 1. 1.Дискретную динамическую систему, траектории которой принадлежат аттрактору (отрезку) Снабдим ее набором вероятностей, которые определяют единственную вероятностную меру на аттракторе (гистограмму)

11 Полные Метрические Пространства - метрическое пространство, если существует такое, что - последовательность - Коши, если для любого - полное, если в нем сходиться любая последовательность Коши

12 Отображение сжатие, если для Теорема Банаха о неподвижной точке В полном метрическом пространстве сжимающее отображение имеет единственную неподвижную точку Cтефан Банах ( ) Для любой точки

13 Точки – замкнутые и ограниченные подмножества из Пространство компактов Метрика Хаусдорфа: полное метрическое пространство параллельное тело : Felix Hausdorff ( )

14 Michael Barnsley John Hutchinson Iterated function systems определяет сжатие в Cистемой итерирующих функций (IFS) называют конечный набор сжатий. Для и оператор Хатчинсона

15 А - аттрактор IFS ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА-I Для IFS на компактное множество такое, что существует единственное ив В.Серпинский ( )

16 FERN Barnsley

17 IFS C ВЕРОЯТНОСТЯМИ Как действует сжатие на меру?

18 Оператор Маркова определяет сжатие в Пространствомер Пространство мер Метрика Монжа-Канторовича: Гаспар Монж ( гг.) Неподвижная точка-инвариантная мера:

19 ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА -2 Для IFS существует единственная Борелева мера такая, что Для всех непрерывных Интеграл по мере:

20 Для Состояние в момент МАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ и Эволюция : выбираются независимо или по Маркову Обобщение AR-модели: – IFS с вероятностями! T – IFS с вероятностями!

21 ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МАРКОВСКОЙ ДИНАМИКИ ДАНО: эмпирическая оценка инварианной меры – Частотная Гистограмма Слов на аттракторе. НАЙТИ: коэффициенты IFS и вероятности Аттрактором меры служит единичный интервал. Следовательно IFS: Следует найти:

22 МЕТОД МОМЕНТОВ Если инвариантная мера, то Для ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ:

23 Dst индекс. Уровень –30; длина слова 12.

24 Предсказание ежедневных значений D st индекса. Порог -30 nT, длина слова 12, N=5844, M=30. Эмпирическая мера Коллаж-методМетод моментов %1 день2 дня3 дня 1 день 2 дня3 дня1 день2 дня3 дня r1r / / /43.73 r2r / / /19.47 r3r / / /48.44 n 2 – число правильно предсказанных суффиксов, если реальные значения содержали 1 (точное предсказание) n 3 – общее число префиксов, в которых есть бури n 4 – число частично предсказанных суффиксов, если реальные значения содержали 1 (позиции бури могут не совпадать с истинными) n 1 – количество правильно предсказанных суффиксов n – общее количество прогнозов

25 Эпигноз 3 h значений Ар индекса. Порог -30 nT, длина слова 12, N=208296, M=30. Эмпирическая мера Коллаж-методМетод моментов %1 день2 дня3 дня 1 день 2 дня3 дня1 день2 дня3 дня r1r r2r r3r Эмпирическая мера Коллаж-методМетод моментов %1 день2 дня3 дня 1 день 2 дня3 дня1 день2 дня3 дня r1r r2r r3r Эпигноз 3 h значений Kр индекса. Порог 4 nT, длина слова 12, N=217192, M=30.

26 Ни Ангелы Божии, ни демоны не знают таким образом будущего, однако предсказывают Св. Иоанн Дамаскин. Точное изложение православной веры. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!