Производн ая Производн ая МБОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» Автор: Семёнова Елена Юрьевна. - презентация

1

2 Производн ая Производн ая МБОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» Автор: Семёнова Елена Юрьевна

3 Содержание 1.Понятие производной.Понятие производной. 2.Алгоритм нахождения производной.Алгоритм нахождения производной. 3.Примеры.Примеры. 4.Таблица производных.Таблица производных. 5.Физический смысл производной.Физический смысл производной. 6.Правила нахождения производных.Правила нахождения производных. 7.Непрерывность функции.Непрерывность функции. 8.Геометрический смысл производной.

4 Понятие производной Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале (a; b), в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. f (x) = lim f x x 0 Нахождение производной называют дифференцированием

5 Понятие производной f (x) = lim f x x 0 х0х0 х 0 + х f(x 0 ) f(x 0 + х) х х у 0 f у = f(x)

6 1.Зафиксировать значение х 0, найти f(x 0 ). 2.Дать аргументу х 0 приращение х, перейти в новую точку х 0 + х, найти f(x 0 + х). 3.Найти приращение функции: f = f(x 0 + х) – f(x 0 ). 4.Составить отношение. 5.Вычислить lim. 6.Этот предел и есть f (x 0 ). Алгоритм нахождения производной f х f х x0

7 Примеры 1. Найти производную функции y = kx + b в точке х o

8 Примеры 2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке х o

9 Примеры 3. Найти производную функции y = x 2 в точке х o

10 Примеры 4. Найти производную функции y = x в точке х o

11 Примеры 4. Найти производную функции y = x в точке х o

12 Примеры 5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o

13 Примеры 5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o

14 Таблица производных f (x) C0 x1/(2 x) kx + bkexex exex x2x2 2xaxax a x lna xnxn nx n–1 tg x1/cos 2 x 1/x– 1/x 2 ctg x– 1/sin 2 x sin xcos xln x1/x cos x– sin xlog a x1/(x lna)

15 Физический ( механический ) смысл производной Если при прямолинейном движении путь s, пройденный точкой, есть функция от времени t, т.е. s = s(t), то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s (t). Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t.

16 Правила нахождения производной 1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем (u + v) = u + v 2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С u(x) также имеет в этой точке производную, причем (Сu) = Сu

17 Правила нахождения производной 3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) v(x) также имеет в этой точке производную, причем (u v) = uv + uv 4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем v(x) 1 v 2v 2 v = –= – v 1 ( )

18 Правила нахождения производной 5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем v(x) u(x) v 2v 2 uv – uv = ( ) v u

19 Производная сложной функции ( f ( g(x) ) ) = f ( g(x) ) g(x) Примеры: 1. ( (5x – 3) 3 ) = 3(5x – 3) 2 (5x – 3) = = 3(5x – 3) 2 5 = 15(5x – 3) 2 2. ( sin(4x + 8) ) = cos(4x + 8)(4x + 8) = = cos(4x + 8)4 = 4 cos(4x + 8)

20 Если функция имеет производную (дифференцируема) в точке х, то она непрерывна в этой точке.

21 Геометрический смысл производной