Задача: Вася пошел на футбол. За время t 0 он прошел путь S 0. А за время t он прошел весь путь S. S0S0 S. - презентация

1 Задача: Вася пошел на футбол. За время t 0 он прошел путь S 0. А за время t он прошел весь путь S. S0S0 S

2 S0S0 S Сколько времени понадобится Васе, чтобы пройти обозначенную часть пути? S t-t 0 Обозначим t=t-t 0 Чему равен оставшийся путь? S=S-S 0

3 Найдем среднюю скорость Васи U ср = S t Если будем уменьшать t, то средняя скорость будет стремиться к некоторому числу: lim U ср = lim t 0 S t =U-скорость.

4 Заметим: S t U=lim t S t 0 Рассмотренное нами движение может быть задано уравнением S=f(t) Тогда U= f(t) – f(t 0 ) t-t 0 U ср =

5 Х Y Переместим Васю на координатную плоскость. Его движение описывает функция y=f(x) Вася начал движение из точки (х 0 ;f(x 0 )) X0X0 f(x 0 ) f(x) Вася прошел некоторый путь. Тем самым по оси Ox Вася сместился на x. X X Тогда по оси Оy Вася сместился на y = f(x 0 +x) – f(x 0 ) f(x)

6 Чему равна средняя скорость движения Васи? Чему равна средняя скорость движения Васи? U ср. = U ср. = y x Чему равна скорость движения Васи? U=lim x x 0 y А как записать иначе? U= f(x) – f(x 0 ) x-x 0 lim x 0 - ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ f(X) В ТОЧКЕ X 0. Обозначение: f, y ', f ' (x).

7 Исторически понятие производной возникло из практики. Исторически понятие производной возникло из практики. Термин производная и современное обозначение ввел Лагранж. Термин производная и современное обозначение ввел Лагранж. Такое название отражает смысл понятия: функция f (x) происходит из f(x), является производной от f(x). Такое название отражает смысл понятия: функция f (x) происходит из f(x), является производной от f(x). И. Ньютон называл производную функции флюксией, а саму функцию – флюентой. И. Ньютон называл производную функции флюксией, а саму функцию – флюентой.