Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. - презентация

1 Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

2 Элементы интегрального исчисления 1.Первообразная и неопределенный интеграл 2.Основные приемы вычисления неопределенных интегралов 3.Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен 4.Интегрирование дробно-рациональных функций 5.Интегрирование тригонометрических функций 6.Интегрирование некоторых иррациональностей

3 Первообразная и неопределенный интеграл

4

5 Свойства интеграла, вытекающие из определения Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал- подынтегральному выражению. Действительно:

6 Свойства интеграла, вытекающие из определения Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянной: 3. так как является первообразной для

7 Свойства интеграла

8 Таблица неопределенных интегралов

9

10 Интегрирование по частям

11 Метод замены переменной

12 Задача о вычислении площади плоской фигуры Решим задачу о вычислении площади фигуры, ограниченной графиком функции, отрезками прямых, и осью Ox.Такую фигуру называют криволинейной трапецией a b

13 Задача о вычислении площади плоской фигуры

14

15 Определенный интеграл

16

17

18 Теорема о существовании определенного интеграла

19 Свойства определенного интеграла

20

21 Теорема о среднем Если функция непрерывна на то существует такая точка что

22 Вычисление определенного интеграла

23 Вычисление площадей Площадь фигуры в декартовых координатах. 0

24 Обыкновенные дифференциальные уравнения

25 Уравнение первого порядка Функциональное уравнение F(x,y,y ) = 0 или y = f(x,y), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y (x), называется дифференциальным уравнением первого порядка.

26 Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y = (x,C), которая при любом значении параметра C является решением этого дифференциального уравнения.

27 Уравнение Ф(x,y,C) =0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

28 Постановка задачи Коши Задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию при, называется задачей Коши для уравнения 1-го порядка.

29 Уравнение с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

30 Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид:. Для решения уравнения делят обе его части на произведение функций, а затем интегрируют. Уравнение с разделяющимися переменными

31 Однородные уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду y = или к виду где и – однородные функции одного порядка.

32 Линейные уравнения 1-го порядка Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит и в первой степени, т.е. имеет вид. Решают такое уравнение с помощью подстановки y=uv, где u и v- вспомогательные неизвестные функции, которые находят, подставляя в уравнение вспомогательные функции и на одну из функций налагают определенные условия.

33 Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение 1-го порядка, имеющее вид, где и Его, как и линейное уравнение решают с помощью подстановки

34 Основные понятия Уравнение 2-го порядка имеет вид Или Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция, которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.

35 Задача Коши для уравнения 2- го порядка Если уравнение 2-го порядка разрешить относительно второй производной, то для такого уравнения имеет место задача: найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: и Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения 2-гопорядка.

36 Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам и непрерывны в некоторой области, содержащей точку, то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям и.

37 Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2-го порядка решают двукратным интегрированием. Уравнение, не содержащее явно у, решают с помощью подстановки, Уравнение, не содержащее х, решают заменой,.

38 Линейные однородные уравнения Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение. Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами.

39 Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами Уравнение называется характеристическим уравнением линейного уравнения. Оно получается из ЛОУ заменой соотстветствующей порядку производной степенью k.

40 Вывод формул общего решения ЛОУ 2-го порядка Корни характеристического уравнения Случай 1. Если, то характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня В этом случае общее решение имеет вид.

41 Случай 2. Если, то характеристическое уравнение имеет одинаковые корни. Частные решения ЛОУ выбираем так, чтобы они были линейно независимыми: и. Общее решение ЛОУ 2-го порядка будет иметь вид.

42 Случай 3. Если, то характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня и, где и. Общее решение ЛОУ 2-го порядка в действительной форме можно записать в виде

43