Проблемы решения квадратных уравнений. Авторы Оглоблина Полина, Вокальчук Екатерина, Лукиных Екатерина, Котова Надежда, Карпова Кристина. - презентация

1 Проблемы решения квадратных уравнений

2 Авторы Оглоблина Полина, Вокальчук Екатерина, Лукиных Екатерина, Котова Надежда, Карпова Кристина.

3 Актуальность проблемы Актуальность определяется следующими обстоятельствами. 1. Изучение тенденции развития проблем решения квадратных уравнений. 2. Убеждение в многообразии рациональных способов решений квадратных уравнений. С уравнениями мы знакомы давно. Уравнения - одно из важнейших понятий математики. Решая уравнение с одним неизвестным, мы, как правило, приходим к простейшим уравнениям, для решения которых есть готовые формулы.

4 Целью нашей работы является формирование личного представления о возможности решения квадратных уравнений различными способами.

5 Предмет исследования: квадратные уравнения

6 В основу исследования была положена следующая гипотеза: изменится ли способ решения квадратного уравнения в зависимости от его вида.

7 Методы исследования : в процессе выполнения работы использовались методы: анализ; обобщение; сравнение; доказательства; вычисления.

8 метод выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Среднеазиатский учёный Аль -Хорезми рассматривал решение уравнения (х²+10х=39). Площадь большого квадрата равна (х+5)². Она складывается из площади закрашенной фигуры (х²+10х), равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырех квадратов со стороной 5/2, равной 25. Таким образом, (х+5)²= х + 5 = ±8 х 1 =3; х 2 =-13

9 ( Х²Х² 5/2 x (5/2)²5/2x(5/2)² 5/2 x (5/2)² 5/2 x

10 Основная часть 1. Общие способы решения квадратных уравнений. Квадратное уравнение – это уравнение ах² + bx + c = 0, где a, b, c – заданные числа, причем, a0, x – неизвестное. Рассмотрим способы решения квадратных уравнений и исследуем корни квадратного уравнения в зависимости от его коэффициентов

11 8х² + 2х – 1 = 0 ах 2 + bx + c = 0 D=b 2 -4ac D>0 D=0D

12 8х² + 2х – 1 = 0 D = b² - 4ас = (-1) = 4+32 = 36, D>0, два корня. Х 1,2 = (-b ± D)/2а = (-1± 49) /26 = -1±7/12 Х 1 = - 2/3 x 2 = 1/2

13 Формула для четного коэффициента b ах²+ bх +с = 0 b=2m D 1 = m² - ac D 1 > 0 D 1 = 0 D 1 < 0 Действительных корней нет Х = -m/aХ 1,2 =(-m ±D)/a

14 Пример: 3х²- 4х + 1 = 0 D = m²- ac = (-2)²-4 1 = 4 – 3 = 1, D>0, два корня Х 1 = (-m + D )/a = (2+1/3)=2 + 1/3, X 1 =1/3 Х 2 = (-m-D)/a = (2-1/3)= 2 -1/3; Х 2 =1.

15 Приведенное квадратное уравнение, где старший коэффициент равен единицы Х²+ pх + q = 0 D = (p/2)² -q D>0 D=0 D

16 Пример: Х²- 14х – 15 = 0 D = 7² –(-15) =64 Х 1,2 = 7± 64 = 7 ± 8 Х 1 = 15, Х 2 =-1

17 Теорема, обратная теореме Виета. Если числа р, q, х 1, х 2 таковы, что х 1 + х 2 = -р, х 1 х 2 = q, то х 1 и х 2 –корни уравнения х²+ рх + q = 0 х²- 7х + 12 = 0

18 Пример: х²- 7х + 12 = 0 х 1 +х 2 =7, х 1 =3 х 1 х 2 =12. х 2 =4

19 Частные случаи решения квадратных уравнений. 1. Решение неполных квадратных уравнений 1) С=0 ах² + bх =0 х(ах + b)=0 х 1 =0 или ах + b = 0 х 2 = -b/а Например: 2х²- 5х = 0 Х(2х-5)=0 х 1 =0 или 2х-5=0 2х=5 х 2 =2,5

20 2. b = 0 ах²+ с = 0 ах²= - с х²= -с : а х 1,2 = ± -с/а 4х²- 9 = 0

21 Например: 1 способ 4х²- 9 = 0 4х² = 9 х²= 9/4х²= 9/4 х 1 = 3/2 = 1,5 Х 2 = - 1,5

22 Например: 2 способ 4х² – 9 =0 (2х-3)(2х+3)=0 2х – 3 = 0 или 2х + 3 = 0 Х 1 = 1,5 х 2 = -1,5

23 3. b=0, с=0 ах² = 0 Например: 2х²=0 х² = 0 х²= 0 Х = 0 х = 0

24 Рассмотрим решение квадратного уравнения ах²+ bх + с = 0 в зависимости от соотношения между коэффициентами а, b, с. Если а + b + с = 0, то х 1 = 1, х 2 = с/а. 2х²+ 3х - 2=0

25 Например: 2х²+ 3х - 2= – 5 = 0, значит, х 1 =1, х 2 = - 5/2

26 2. Если а-b-с=0, то х 1 =-1, х 2 = - с/а. Например: 2х²+3х-5= =0, значит, х 1 =-1, х 2 =1/2

27 3. Если а = с = к, b= к²+1, т.е. кх²+(к²+1)х+к=0, то х 1 = -к, х 2 =-1/к Например: 2х²+5х+2=0

28 Например: 2х²+5х+2=0 5 =2²+1, к=2 х 1 =-2, х 2 =-1/2

29 3. Если а = с = к, b =-(к²+1), т.е кх²-(к²+1)х+к=0, то х 1 = -к, х 2 =-1/к Например: 3х²-10х+3=0

30 Например: 3х²-10х+3=0 3х²-(3²+1)х+3=0 х 1 =3, х 2 =1/3

31 Заключение Теоретическая значимость исследования состоит в том, что представлены как наиболее распространенные методы решения квадратных уравнений, так и достаточно эксклюзивные, показана зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и соотношения между этими коэффициентами.

32 Практическое значение работы заключается в том, что исследованные нами способы решения квадратных уравнений могут быть использованы учащимися 8-х классов при изучении темы «Квадратные уравнения», 9 класс при решении задач методом квадратных уравнений, материал может быть использован для построения элективного курса, при подготовке к ЕГЭ, презентация работы может быть использована как пособие для учащихся и учителя.