Алена довольная пришла из школы и предложила папе заключить сделку: в учебном году 34 недели; за 1 неделю папа даст 1 копейку, за вторую - 2 копейки, за. - презентация

1 Алена довольная пришла из школы и предложила папе заключить сделку: в учебном году 34 недели; за 1 неделю папа даст 1 копейку, за вторую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д…. Сколько денег получит Алена за 34 недели? Как вы думаете, в каком классе учится Алена, и что нового она узнала в школе?

2 Тема урока « Сумма n первых членов геометрической прогрессии»

3

4 Слово прогрессия имеет латинское происхождение и означает движение вперед. Любая работа в математике начинается с правил, понятий, которые помогают изучить тему, решать более сложные задания.

5 Цели урока: Отрабатывать навыки работы с формулами геометрической прогрессии; Показать практическую значимость формулы суммы n членов геометрической прогрессии. Убедиться в том, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

6 Ход урока Организационный момент. Устная работа Проверка теоретического материала Работа с формулами Задача-легенда Историческая справка Задача на применение темы Задания ГИА Интерактивный тест Итог урока

7 Устная работа 1)Определите, какая последовательность является геометрической прогрессией 2; 5; 8; 11 …. 2; 1; 0,5; 0,25 -2; -8; -32; -128 … -2; -4; -6; -8; … 3) 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; …; ) Найдите знаменатель геометрической прогрессии b 2 = 4; b 3 = 16 b 3 = 16; b 4 = 4 b 8 = 9; b 9 = -27 b 9 = -27; b 10 = 9 4) ½ - 1; - 1 ; - 1.

8 Таблица для заполнения ПрогрессияAрифметическая прогрессияГеометрическая прогрессия 1. Определение. Числовая последовательность, каждый член, которой, начиная со второго равен предыдущему члену сложенному с одним и тем же числом d, ( d – разность арифметической прогрессии) 2. Обозначение. 3. Допустимые значения. - любые 4. Рекуррентная формула., 5. Нахождение разности, знаменателя 6. Формула n-го члена., 7. Характеристи- ческое свойство., 8. Формулы суммы n первых членов.,,

9

10

11

12 S 64 = 2 - 1= =

13

14 S 64 = = 1, стандартный вид данного числа 6419

15 Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.

16 Если считать, что 1 пуд зерна содержит зерен, то для выполнения просьбы потребовалось бы пудов зерна. Если полагать, что в среднем ежегодно собирается пудов зерна, то для выполнения указанной просьбы нашей стране нужно работать (не расходуя ни одного зерна) на протяжении лет.

17 Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях. На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э) Термин прогрессия был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия арифметическая и геометрическая были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки. Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида Начала (3 век до н.э.). Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский )

18 В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий: Арифметическая Геометрическая А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», увидевшей свет в 1484 году. Наука о числах Англия XVIII век

19 Древняя Греция Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:

20 Древний Египет Задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры» Формула, которой пользовались египтяне:

21 Германия Нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 40, будучи еще учеником начальной школы … = (1 + 40) + (2 + 39) + …… + ( ) = = 820 КАРЛ ГАУСС (1777 – 1855)

22 «Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано; научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь», - говорил Д. Пойа.

23 Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. Результат каждого удвоения будем называть поколением.

24 Задача Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

25 Решение. S 72 = = = = Всего бактерий 4 септиллиона 722 сектиллиона 366 квинтиллионов 482 квадриллиона 869 триллионов 645 миллиардов 709 миллионов 213 тысяч 695

26 Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

27 ТЕСТ и Г И А

28 Живая математика, глава седьмая «Рассказы о числах-великанах» Занимательная алгебра глава восьмая «Прогрессии» Выгодная сделка Городские слухи Лавина дешевых велосипедов Награда Легенда о шахматной доске Быстрое размножение Древнейшая прогрессия Алгебра на клетчатой бумаге Поливка огорода Кормление кур Артель землекопов Яблоки Покупка лошади Вознаграждение воина Задачи на прогрессии есть и в книгах Я.И. Перельмана

29

30 1) Алена должна получить = ,83руб 2) О поселковых слухах: Удивительно, как быстро разлетаются по деревне слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела всё село: все о ней знают, все слышали. Итак, задача: В селе жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна всему селу?