3. Ранг матрицы Элементы линейной алгебры. Ранг матрицы (1) Минором к – го порядка матрицы А называется определитель к – го порядка с элементами, стоящими. - презентация

1 3. Ранг матрицы Элементы линейной алгебры

2 Ранг матрицы (1) Минором к – го порядка матрицы А называется определитель к – го порядка с элементами, стоящими на пересечении любых к строк и к столбцов. Рассмотрим матрицу

3 Ранг матрицы (2) Рангом матрицы r(A) называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля.

4 Элементарные преобразования матриц Вычеркивание нулевой строки Элементарные преобразования матриц Перестановка двух строк Прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число

5 Элементарные преобразования матриц (1) Теорема 1. Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

6 Элементарные преобразования матриц (2) Теорема 2. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Ранг ступенчатой матрицы равен числу (ненулевых) строк.

7 Пример 6 (1) Найти ранг матрицы:

8 Пример 6 (2) Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду: ·(-2)

9 Пример 6 (3) Решение. ·(-2)

10 Пример 6 (4) Решение. ·(-2) ·(-3)

11 Пример 6 (5) Решение. ·(-2) ·(-3)

12 Пример 6 (6) Решение. ·(-1)

13 Пример 6 (7) Решение. ·(-1) r(A)=2

14 4. Метод Гаусса

15 Метод Гаусса (1) Метод последовательного исключения неизвестных – наиболее распространенный метод решения систем линейных уравнений.

16 Метод Гаусса (2) Рассмотрим систему

17 Метод Гаусса (3) Рассмотрим систему С помощью элементарных преобразований приводим ее к равносильной системе ступенчатого вида:

18 Метод Гаусса (4) Возможен один из следующих случаев: 1) система не имеет решений (система несовместна); 2) система имеет единственное решение; 3) система имеет бесчисленное множество решений.

19 Теорема Кронекера-Капелли (1) Рассмотрим систему уравнений

20 Теорема Кронекера-Капелли (2) Рассмотрим систему уравнений Обозначим

21 Теорема Кронекера-Капелли (3) Теорема. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда

22 Пример 7 (1) Методом Гаусса решить систему уравнений:

23 Пример 7 (2) Решение. Запишем расширенную матрицу:

24 Пример 7 (3) Решение. Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду: ·(-2)

25 Пример 7 (4) Решение. ·(1)

26 Пример 7 (4) Решение. ·(1) r(A)=r(Ã)=3

27 Пример 7 (5) Решение.

28 Пример 7 (6) Решение.

29 Пример 7 (7) Решение. Найдем x 1 :

30 Пример 7 (8) Решение. x 1 =1, x 2 =1, x 3 =0 – единственное решение.

31 Окончание лекции