Скачать презентацию
Идет загрузка презентации. Пожалуйста, подождите
1
§16. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции. Определение. Точка z 0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z) однозначная и C (0
2
Точка z 0 называется изолированной особой точкой f(z), если такая окрестность точки z 0, в которой нет других особых точек.
3
f(z 0 ) может быть не определена. f(z) в окрестности точки z 0 можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в кольце 0
4
Поведение f(z) в окрестности z 0 определяется главной частью ряда Лорана
5
Важное замечание В малой окрестности точки ветвления и неизолированной особой точки f(z) нельзя раскладывать в ряд Лорана.
6
точка сгущения (предельная точка) нулей знаменателя- неизолированная особая точка. Пример неизолированной особой точки.
7
Классификация изолированных особых точек I. Устранимые особые точки z 0 : c -n = 0 n > 0 => Q(z)=0; => f(z) c 0 при z z 0 z 0 - устранимая особая точка. z 0 - изолированная особая точка.
8
z 0 - правильная точка f(z) z: 0
9
Пример устранимой особой точки. устранимая особая точка.
10
Теорема 16.1 Если то z 0 - устранимая особая точка. f( z ) C ( 0 < | z - z 0 |< (z 0 ) ) и | f( z ) | < M при 0 < | z - z 0 | < ( z 0 ),
11
Доказательство.
12
c -n не зависят от R !
13
II. Полюса z 0 - изолированная особая точка. => f(z) при z z 0 z 0 - полюс т-того порядка.
14
Пример полюса. полюс т-того порядка.
15
Теорема 16.2 Если f( z ) C ( 0 < | z - z 0 |< (z 0 ) ) z 0 - изолированная особая точка f( z ) и | f ( z ) | => при z z 0 (независимо от способа стремления z z 0 ), то z 0 - полюс f(z).
16
Доказательство. |f(z)|=> при z z 0 => для A>0 : 0 A; g(z)=1/f(z) C (0 т => z 0 - устранимая особая точка g(z)- нуль m-того порядка. => g(z)=(z-z 0 ) m (z), m>0, (z 0 ) 0;
17
Существенно особые точки z 0 - изолированная особая точка. много членов (z-z 0 ) -n. число c -n 0. z 0 - существенно особая точка.
18
Пример существенно особой точки
19
Для комплексного числа B и > 0, Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса в - окрестности существенно особой точки z 0 0 < |z - z 0 | < z 1 : | f ( z 1 )- B |
20
=> z 0 - полюс f(z) m 0, для z 0 0. Доказательство. Пусть 0 и 0 : g(z)=1/[f(z)-B]=> |g(z)|=1/|f(z)-B| z 0 - устранимая особая точка g(z) (т. 16.1) => g(z)=(z-z 0 ) m (z), m 0 => или правильная точка m=0.
![=> z 0 - полюс f(z) m 0, для z 0 0. Доказательство. Пусть 0 и 0 : g(z)=1/[f(z)-B]=> |g(z)|=1/|f(z)-B| z 0 - устранимая особая точка g(z) (т. 16.1) => g(z)=(z-z 0 ) m (z), m 0 => или правильная точка m=0.](http://images.myshared.ru/6/729833/slide_20.jpg "=> z 0 - полюс f(z) m 0, для z 0 0. Доказательство. Пусть 0 и 0 : g(z)=1/[f(z)-B]=> |g(z)|=1/|f(z)-B| z 0 - устранимая особая точка g(z) (т. 16.1) => g(z)=(z-z 0 ) m (z), m 0 => или правильная точка m=0.")
21
Замечание В окрестности существенно особой точки {z n } z 0 : {f(z n )} B.
22
Классификация изолированных особых точек на языке пределов. f( z ) C ( 0 < | z - z 0 |< (z 0 ) ) z 0 - изолированная особая точка f( z )
23
1) Если z {0 < | z - z 0 |< (z 0 ) } z 0 - устранимая особая точка f(z).
24
2) Если z {0 < | z - z 0 |< (z 0 ) } z 0 - полюс f(z).
25
3) Если z {0 < | z - z 0 |< (z 0 ) } z 0 - существенно особая точка f(z).
26
Бесконечно удаленная изолированная особая точка. Определение. z является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции, если R>0 : для z : |z|>R f(z) не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от точки z=0.
27
Ряд Лорана:1) Если z - устранимая особая точка f(z).
28
2) Если z - полюс f(z).
29
3) Если z - существенно особая точка f(z).
Еще похожие презентации в нашем архиве:
