НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Задачи на условный экстремум Метод неопределенных множителей Лагранжа Рассмотрим функцию двух переменных. - презентация

1 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Задачи на условный экстремум Метод неопределенных множителей Лагранжа Рассмотрим функцию двух переменных при наличии ограничений Найдем выражение для полного дифференциала функции g(x,y)

2 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Откуда получим Воспользовавшись функцией g(x,y )выразим из нее y как функцию x y=h(x), тогда функцию z=f(x,y) можно представить в виде z=f(x,h(x)). Найдем минимум функции z(x)

3 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА или Обозначим тогда В точке экстремума x=x*, y=y*, λ – число.

4 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Аналогично для производной по y получим Из выражения Следуетили

5 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Следовательно Откуда окончательно получим

6 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Что равносильно минимизации функционала F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y), по переменным x, y, λ. Пример Найти экстремум функции Этот результат обобщается на случай n переменных и m ограничений m

7 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Запишем выражение функционала исследуемого на безусловный экстремум откуда Решение системы x=2, y=2, λ.

8 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Не классические вариационные задачи, ограничения типа неравенств. Поиск экстремума функции при наличии ограничений типа неравенств: Ограничения наложены на аргумент функции. Возможны два типа ограничений xa, a xb. Вводя замены переменных вида x=t 2 +a, t [-,], Получаем задачу на безусловный экстремум, плата переход от возможно линейной по условию задачи, к задаче нелинейной.

9 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Теорема Куна – Таккера. Рассмотрим функцию при наличии ограничений Добавим в каждом ограничении типа неравенств ослабляющую переменную u j 2 с тем, чтобы ограничение типа неравенства перевести в ограничение типа равенства Теперь можно построить функцию Лагранжа

10 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Для нахождения минимума следует продифференцировать F(.) по всем аргументам и результат приравнять нулю. Последние два выражения можно переписать в виде

11 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Добавив к этим выражениям требование λ0, получим условия Куна - Таккера для поиска минимума функции при наличии ограничений типа неравенств

12 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

13