Задача 1. Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a, причем r < R и r + R. - презентация

1 Задача 1. Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a, причем r < R и r + R < a. Найдите AB. Ответ. или. Решение. Пусть O 1 – центр окружности радиуса R, O 2 – центр окружности радиуса r. Возможны два случая: AB – внешняя касательная, AB – внутренняя касательная. В первом случае (рис. 1) через точку O 2 проведем прямую, параллельную AB, и обозначим P ее точку пересечения с прямой O 1 A. Тогда AB = Во втором случае (рис. 2) через точку O 2 проведем прямую, параллельную AB, и обозначим P ее точку пересечения с прямой O 1 A. Тогда AB =

2 Задача 2. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции. Решение. Пусть ABCD – трапеция, вписанная в окружность с центром O и радиусом 25. Возможны два случая: основания AB и CD трапеции расположены по одну сторону от центра O, основания AB и CD расположены по разные стороны от центра O. В первом случае (рис. 1) через точку O проведем прямую, перпендикулярную AB, и обозначим P, Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD. Тогда высота PQ трапеции равна OQ – OP. Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 9. Во втором случае (рис. 2) через точку O проведем прямую, перпендикулярную AB, и обозначим P, Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD. Тогда высота PQ трапеции равна OQ + OP. Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 39. Ответ. 9 или 39.

3 Задача 3. Окружности с центрами O 1 и O 2 пересекаются в точках A и B. Известно, что угол AO 1 B равен 90 о, угол AO 2 B равен 60 о, O 1 O 2 = a. Найдите радиусы окружностей. Решение. Возможны два случая: точки O 1, O 2 расположены по разные стороны от прямой AB, точки O 1, O 2 расположены по одну сторону от прямой AB. Обозначим r радиус окружности с центром O 1. Тогда радиус окружности с центром O 2 будет равен. Обозначим P точку пересечения прямых O 1 O 2 и AB. Тогда O 1 P =, O 2 P =. В первом случае (рис. 1) и, следовательно, Во втором случае (рис. 2) и, следовательно, Ответ. или

4 Задача 4. Около треугольника ABC описана окружность с центром O, угол AOC равен 60 о. В треугольник ABC вписана окружность с центром M. Найдите угол AMC. В первом случае (рис. 1) сумма углов A и C треугольника ABC равна 150 о. Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 75 о и, следовательно, угол AMC равен 105 о. Ответ. 105 о или 165 о. Решение. Возможны два случая расположения вершины B треугольника ABC. Во втором случае (рис. 2) сумма углов A и C треугольника ABC равна 30 о. Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 15 о и, следовательно, угол AMC равен 165 о.

5 Задача 5. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB = 6 и BC = 4. Найдите AC. Решение. По теореме синусов Откуда Возможны два случая расположения вершины C треугольника ABC. Опустим перпендикуляр BH на прямую AC. Тогда BH = ABsinA = 1. По теореме Пифагора AH = CH = В первом случае (рис. 1) AC = Во втором случае (рис. 2) AC = Ответ. или

6 Задача 6. Прямые, содержащие высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что CH = AB. Найдите угол ACB. В первом случае (рис. 1) угол C равен углу CAA 1, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, угол C равен 45 о. Во втором случае (рис. 2) угол C равен 135 о. Ответ. 45 о или 135 о. Решение. Пусть AA 1, BB 1 – высоты треугольника ABC. Опишем окружности на CH и AB как на диаметрах. Они пройдут через точки A 1 и B 1. Возможны два случая расположения точки H.

7 Задача 7. В треугольнике ABC проведены высоты BB 1 и CC 1, O – центр вписанной окружности. Известно, что BC = 24, B 1 C 1 = 12. Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника BOC. Решение. Возможны два случая расположения отрезка B 1 C 1. На BC, как на диаметре, опишем окружность с центром P. Треугольник B 1 C 1 P равносторонний. Следовательно, сумма углов BPB 1 и CPC 1 равна 120 о. В первом случае (рис. 1) треугольники BPC 1 и CPB 1 равнобедренные. Следовательно, сумма углов B и C равна 120 о. Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 120 о. По теореме синусов находим R =. Во втором случае (рис. 2) сумма углов B и C равна 60 о. Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 150 о. По теореме синусов находим R = 24. Ответ. или 24.

8 Задача 8. В трапеции ABCD известны боковые стороны AB = 27, CD = 28. Основание BC равно 5, косинус угла BCD равен –2/7. Найдите AC. Решение. Возможны два случая. В первом случае (рис. 1) DF = 8, CF = BE =, AE = 3. Следовательно, AC = 28. Во втором случае (рис. 2) DF = 8, CF = BE =, AE = 3. Следовательно, AC =. Ответ. 28 или.