О понятии ОДЗ и равносильности.. ОДЗ (областью допустимых значений) уравнения называется множество тех значений неизвестной, при которых определены его. - презентация

1 О понятии ОДЗ и равносильности.

2 ОДЗ (областью допустимых значений) уравнения называется множество тех значений неизвестной, при которых определены его правая и левая части. Очевидно, что вне ОДЗ решений не существует, однако не все числа, входящие в ОДЗ, служат решениями уравнения.

3 Приведём два примера, показывающих, что нахождение ОДЗ может быть как чрезвычайно сложной с одной стороны, так и абсолютно необходимой, с другой стороны, задачей.

4 Пример 1 Решите уравнение: Решение Совершенно понятно, что поиск ОДЗ в данном примере сопряжён с огромными трудностями. Однако попробуем решить это уравнение непосредственно. Поскольку мы будем лишь возводить в квадрат, то ОДЗ может лишь расшириться, то есть могут появиться посторонние корни. Однако эти корни мы можем отсеять проверкой. Имеем:

5

6 Проверкой убеждаемся, что из двух найденных корней подходит только 1. Так как при возведении в квадрат мы не могли потерять решения, а могли только их приобрести, то 1 и есть окончательный ответ. Ответ. 1.

7 Пример 2 Решите уравнение Решение В этом примере наоборот сложно его решение. Однако поиск ОДЗ приносит несомненную пользу. В самом деле, ОДЗ:

8 Значит, ОДЗ нашего уравнения содержит только два числа. А поскольку вне ОДЗ решений быть не может, то корнями нашего уравнения могут быть только эти два числа. Для того чтобы понять, какое из них действительно является решением, нужно полученные числа подставить в уравнение. Подстановка даёт, что x = 0 не является решением уравнения, а x = 1 является. Ответ. 1.

9 Уравнения f (x) = g (x) и f 1 (x) = g 1 (x) называются равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот, или если оба эти уравнения не имеют решений. Проще говоря, уравнения равносильны, если они имеют одно и то же множество корней. Тот факт, что уравнения f (x) = g (x) и f 1 (x) = g 1 (x) равносильны, записывается так: здесь – знак равносильности.

10 Ясно, что уравнение f 1 (x) = g 1 (x) может оказаться проще уравнения f (x) = g (x), а так как оно имеет те же корни, что и исходное уравнение (1), то его и нужно решать. Возникает вопрос: как от уравнения (1) перейти к более простому (но равносильному ему!) уравнению f 1 (x) = g 1 (x)? Сформулируем несколько правил преобразования уравнений.

11 Правило 1. Если выражение φ (x) определено при всех x, при которых определены выражения f (x) и g (x), то уравнения f (x) = g (x) и f (x) + φ (x) = g (x) + φ (x) равносильны. В частности, Здесь φ (x) = –g (x). То есть любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, не нарушая равносильности.

12 Пример 1 Равносильны ли уравнения x = 1 и Уравнение x = 1 (f (x) = x, g (x) = 1) имеет очевидный корень 1. При этом f (x) и g (x) определены на всей действительной оси. Рассмотрим функцию и заметим, что прибавление φ (x) к обеим частям уравнения нарушает равносильность.

13 Действительно, как уже отмечалось, уравнение x = 1 имеет корень, а уравнение корней не имеет. Это произошло потому, что выражение φ (x) определено не при всех x, при которых определены функции f (x) и g (x). Именно, оно не определено при x = 1, при котором f (x) и g (x) имеют смысл. Ответ. Нет.

14 Правило 2. Если выражение φ (x) определено при всех x, при которых определены выражения f (x) и g (x), то любое решение уравнения f (x) = g (x) (1) является решением уравнения f (x) · φ (x) = g (x) · φ (x). (2) В этом случае говорят, что уравнение (2) является следствием уравнения (1) и записывают это так:

15 Таким образом, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение может привести к появлению посторонних корней. Если же φ (x) таково, что φ (x) 0 для тех x, для которых определены функции f (x) и g (x), то Это значит, что для сохранения равносильности умножать обе части уравнения можно лишь на отличное от нуля выражение.

16 Пример 2 Равносильны ли уравнения x = 1 и x(x – 2) = x – 2? Ответ. Нет.

17 Правило 3. Каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (f (x)) n = (g (x)) n (3) при любом натуральном n, то есть При этом, если n нечётно (n = 2k + 1), то можно поставить знак равносильности: Для чётных n справедливо только (3).

18 Пример 3 Уравнение x = 1 имеет корень 1. Возведём обе части уравнения в квадрат, получим x 2 = 1. Это уравнение уже имеет два корня: x = 1 и x = –1. А последнее как раз и означает, что уравнение x 2 = 1 является следствием уравнения x = 1. Разобранный пример показывает, что возведение уравнения в чётную степень может привести к появлению новых корней. Конечно, может и не привести, но раз есть опасность появления чего-то лишнего, то на этапе возведения в квадрат нужно осознавать эту неприятность (зачем нам лишние корни?) и потом обязательно производить проверку.

19 Правило 4. Каждое решение уравнения f (x) · g (x) = 0 является решением, по крайней мере, одного из уравнений: f (x) = 0 или g (x) = 0. (4) Другими словами, из уравнения f (x) · g (x) = 0 следует, что либо f (x) = 0, либо g (x) = 0: Обратное, вообще говоря, неверно, что показывает следующий пример.

20 Пример 4 Рассмотрим уравнение Здесь и Корнями исходного уравнения являются числа 0 и 2. Число 3 не является его корнем, поскольку при x = 3 подкоренное выражение отрицательно.

21 Верным будет такое соотношение равносильности:

22 Из этих четырёх правил следует, что с помощью стандартных приёмов и методов решения уравнений, а именно: преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных членов, возведение уравнения в нечетную натуральную степень и т. д.), разложения на множители (формально этот приём относится к преобразованиям, но, так как он довольно часто встречается самостоятельно, мы его выделяем особо), введения вспомогательных неизвестных, уравнение (1) может быть сведено к более простому и, самое главное, равносильному уравнению f 1 (x) = g 1 (x).