Основные теоремы теории вероятностей Лекция 13. План лекции Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей для независимых и зависимых событий. - презентация

1 Основные теоремы теории вероятностей Лекция 13

2 План лекции Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей для независимых и зависимых событий. Полная вероятность. Формула Байеса. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли Вероятность наступления редких событий. Формула Пуассона.

3 Теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух независимых событий А и В: Вероятность произведения n независимых событий:

4 Условная вероятность Вероятность события А при условии, что произошло событие В Вероятность того, что человек заболеет раком легких, если он курит: Событие А – заболевание; событие В – вредная привычка) Вероятность того, что человек не заболеет гриппом, если он сделает прививку: Событие А – заболевание; событие В – медицинская процедура) Реализация события А не зависит от реализации события В

5 Формула Байеса Вероятность того, что произойдут события А и В, равна произведению вероятности события А и условной вероятности того, что после события А произойдет событие В Формула Байеса позволяет вычислять условные вероятности

6 Пример1: Команда стрелков КрасГМУ состоит из 5 студентов. Трое из них из группы КП101, двое – из КП102 группы. Вероятность попадания в мишень для стрелка из КП101=0,8, для КП102 – 0,6. Участник команды произвел выстрел. 1.Найти вероятность попадания. 2.Найти вероятность того, что попавший стрелок студент: группы КП101 группы КП102

7 Решение: До опыта возможны гипотезы: В 1 – попавший стрелок студент группы КП101 В 2 – попавший стрелок студент группы КП102

8 Р(В1)=3/5=0,6 Р(В2)=2/5=0,4 Р В1 (А)=0,8 Р В2 (А)=0,6 Р(А)= Р(В1) Р В1 (А)+ Р(В2) Р В2 (А)= 0,6×0,8+0,4 ×0,6=0,72

9 По формуле Байеса: Вывод: более вероятно, что цель поражена стрелком группы КП101

10 Пример 2 В группе 10 студентов, пришедших на экзамен. Трое подготовлены отлично,4-хорошо, 2-посредственно, 1- плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно- на 10, плохо подготовленный – на 5. вызванный наугад студент ответил на 3 заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: 1. Отлично 2. Плохо

11 Решение Рассмотрим полную группу событий - подготовлен отлично - подготовлен хорошо - подготовлен посредственно - подготовлен плохо вероятности этих событий равны:

12 Найдем соответствующие вероятности:

13 По формуле Байеса найдем соответствие: 1. 2.

14 Вероятность того, что в отдельном опыте произойдет событие А, равна р. Тогда вероятность того, что в n опытах m раз случится событие А, дается формулой Бернулли:

15 Эксперименты с бросанием монеты Ученыйброскидоля орлов Бюффон 40400,507 Де Морган 40920,5005 Джевонс204800,5068 Романовской806400,4923 Пирсон240000,5005 Феллер100000,4979

16 Частота рождаемости мальчиков в Швеции Месяц IIIIIIIVVVI n m/n месяц VIIVIIIIXXXIXII n m/n

17 Частные случаи формулы Бернулли 1.Вероятность осуществления события А в n испытаниях ровно n раз равна: 2.Вероятность осуществления события А в n испытаниях нуль раз равна:

18 Частные случаи формулы Бернулли 3.Вероятность осуществления события А в n испытаниях не более m раз равна: 4.Вероятность осуществления события А в n испытаниях не менее m раз равна:

19 Пример: Что вероятнее выиграть у равносильного противника: Не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?

20 1.Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех: 2.Вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми: Решение: Так как противники равносильны, то вероятность выигрыша и проигрыша в каждой партии одинаковы.

21 Вероятность редких событий. Формула Пуассона Если вероятность ожидаемого события А очень мала (p 0, а вероятность альтернативы q 1 ). формула Пуассона

22 Пример: Пусть известно, что в партии препарата имеется n= ампул. Вероятность нахождения поврежденной ампулы р=0,0001. Найти вероятность того, что партия содержит ровно 5 бракованных ампул.

23 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, 2009.