Биномиальное распределение Лекция 17. План лекции 1.Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. 2.Вероятность редких событий. Формула Пуассона. - презентация

1 Биномиальное распределение Лекция 17

2 План лекции 1.Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. 2.Вероятность редких событий. Формула Пуассона 3.Часто встречающиеся распределения дискретных случайных величин.

3 Повторные независимые испытания. Формула Бернулли Задача: Какова вероятность появления события А при проведении серии испытаний при одних и тех же условиях? Допущения: Вероятность ожидаемого события Р(А)=р остается постоянной в каждом испытании Учитываются только два исхода: появление события А или его альтернатива Р( )=q, причем p+q=1

4 Формула Бернулли описывает вероятность появления Р n (k) события А в n независимых испытаниях k раз. с учетом, что имеем формула Бернулли

5 Пример: Согласно ГОСТу вероятность содержания лекарственных веществ в одной грануле равна 0,9. Какова вероятность того, что из 10 гранул 5 удовлетворяют нормативам?

6 Частные случаи формулы Бернулли 1.Вероятность осуществления события А в n испытаниях ровно n раз равна: 2.Вероятность осуществления события А в n испытаниях нуль раз равна:

7 Частные случаи формулы Бернулли 3.Вероятность осуществления события А в n испытаниях не более m раз равна: 4.Вероятность осуществления события А в n испытаниях не менее m раз равна:

8 Пример: Что вероятнее выиграть у равносильного противника: Не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?

9 1.Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех: 2.Вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми: Решение: Так как противники равносильны, то вероятность выигрыша и проигрыша в каждой партии одинаковы.

10 Вероятность редких событий. Формула Пуассона Если вероятность ожидаемого события А очень мала (p 0, а вероятность альтернативы q 1 ). формула Пуассона

11 Пример: Пусть известно, что в партии препарата имеется n= ампул. Вероятность нахождения поврежденной ампулы р=0,0001. Найти вероятность того, что партия содержит ровно 5 бракованных ампул.

12 Биномиальное распределение P (m, n) - вероятность того, что в n опытах благоприятное событие произойдет m раз Генерация: в отдельном опыте благоприятное событие может произойти с вероятностью р.

13 Биномиальное распределение M(X)=n p D(X)=n p q x012…n pqnqn …pnpn

14 Распределение Пуассона Генерация: точно так же, как и для биномиального распределения, благоприятное событие может произойти с вероятностью р, однако число опытов n велико, а величина р мала (благоприятные события редки). Вероятность того, что в n опытах благоприятное событие выпадет k раз: M(X)=D(X)= =n p

15 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, Учебно–методические пособия: Шапиро Л.А., Шилина Н.Г. Руководство к практическим занятиям по медицинской и биологической статистике Красноярск: ООО «Поликом». – 2003.