Показательные уравнения Учитель МБОУ «СОШ 31» г.Энгельса Волосожар М.И. - презентация

1 Показательные уравнения Учитель МБОУ «СОШ 31» г.Энгельса Волосожар М.И.

2 Показательные уравнения – это уравнения, содержащие переменную в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения вида, где a>0, а 1, х – неизвестное. Эти уравнения решаются с помощью свойства степени: степени с одинаковыми основаниями a>0, а 1 равны только тогда, когда равны их показатели.

3 Рассмотрим различные типы показательных уравнений и типы их решения. 1. Решение уравнений с использованием свойств показательной функции: Пример 1. Решить уравнение Решение. Так как 0,125=125/1000=1/8, 0,25=1/4 и 2=2, то уравнение примет вид: или Т.к. 2>0, 2 1, то –3+4х–16 =2,5х или 1,5х=19, 3х=38, х= ОТВЕТ: х=

4 2. Решение уравнений, сводящихся к квадратным Пример 2. Решить уравнение Решение. Так как, то уравнение запишется в виде или Пусть,, тогда получим или, откуда t=2, t t=4. Имеем два уравнения: ОТВЕТ:,,,,, нет корней, так как,,,

5 3. Решение уравнений вынесением общего множителя за скобку Пример 3. Решить уравнение Решение. Вынесем за скобку - степень с наименьшим показателем. или 2х– 1=1, х=1 ОТВЕТ:,, х=1

6 4. Решение показательных уравнений логарифмированием обеих частей Пример 4. Решить уравнение Решение. Прологарифмируем данное уравнение по основанию 5 (или 2). Следует заметить, что можно, вообще говоря, логарифмировать по любому основанию, но не совсем удачный выбор основания может привести к громоздким вычислениям.

7 Имеем: или, откуда ОТВЕТ: ;,,,, ;

8 5. Решение уравнений с использованием свойства монотонности показательной функции. При решении некоторых типов показательных уравнений используются следующие свойства: 1. Если функция f возрастает (или убывает) на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнение f(x)=0 имеет не более одного корня. 2. Показательное уравнение вида, где a>0, b>0, a 1, b 1 имеет единственный корень х=1. 3. Сумма монотонно возрастающих (или монотонно убывающих) функций есть также функция монотонно возрастающая (монотонно убывающая).

9 Пример 5. Решить уравнение. Решение. а) Данное уравнение можно привести к виду Так как и, то получим Очевидно, что х=3 – корень уравнения. б) или Пусть Найдем Так как, то функция f(x) – монотонно убывающая, значит х=1 – единственный корень исходного уравнения. а) б) ОТВЕТ: а) 3; б) 1

10 Спасибо за внимание !