КРИСТАЛЛЫ Многие формы многогранников придумал не сам человек, а их создала природа в виде кристаллов. Кристаллы поваренной соли имеют форму куба, кристаллы. - презентация

1 КРИСТАЛЛЫ Многие формы многогранников придумал не сам человек, а их создала природа в виде кристаллов. Кристаллы поваренной соли имеют форму куба, кристаллы льда и горного хрусталя (кварца) напоминают отточенный с двух сторон карандаш, т. е. имеют форму шестиугольной призмы, на основания которой поставлены шестиугольные пирамиды.

2 КРИСТАЛЛЫ Алмаз чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба и даже кубооктаэдра. Исландский шпат, который раздваивает изображение, имеет форму косого параллелепипеда. Пирит – куб или октаэдр, иногда встречается в виде усеченного октаэдра.

3 КРИСТАЛЛЫ Кристалл граната имеет форму ромбододекаэдра (иногда его называют ромбоидальный, или ромбический, додекаэдр) - двенадцатигранника, гранями которого являются двенадцать равных ромбов.

4 Упражнение 1 Возьмем два одинаковых куба. Разобьем один из них на шесть одинаковых четырехугольных пирамид с вершинами в центре куба и основаниями - гранями куба. Приложим теперь эти пирамиды к граням второго куба так, чтобы основания пирамид совместились с гранями куба. Покажите, что образовавшийся при этом многогранник будет ромбододекаэдром.

5 Упражнение 2 Найдите углы ромбов, являющихся гранями ромбододекаэдра. Ответ: cos =

6 Упражнение 3 Ребро куба равно 1. Найдите ребро соответствующего ромбододекаэдра. Ответ:

7 Упражнение 4 Подсчитайте количество вершин, ребер и граней ромбододекаэдра. Ответ: В = 14, Р = 24, Г = 12.

8 Упражнение 5 Имеются ли у ромбододекаэдра параллельные грани? Сколько таких пар? Ответ: Да, 12 пар.

9 Упражнение 6 Сколько у ромбододекаэдра трехгранных и четырехгранных углов? Ответ: 8 трехгранных и 6 четырехгранных углов.

10 Упражнение 7 Найдите двугранные углы ромбододекаэдра. Решение: Воспользуемся тем, что ромбододекаэдр может быть получен из двух равных кубов. Примем ребро куба за 1. Тогда AC =, BD =, AE = CE =. Используя теорему косинусов, найдем линейный угол искомого двугранного угла при ребре BD. Имеем Следовательно, = 120 о. Ответ: = 120 о.

11 Упражнение 8 Найдите углы между несмежными гранями четырехгранных углов ромбододекаэдра. Ответ: 90 о.

12 Упражнение 9 Вершинами какого многогранника являются центры граней ромбододекаэдра? Ответ: Кубооктаэдра.

13 Упражнение 10 Можно ли равными ромбододекаэдрами заполнить все пространство, т. е. составить пространственный паркет? Ответ: Да.

14 Упражнение 11 Найдите трехгранные и четырехгранные углы ромбододекаэдра – многогранника, поверхность которого состоит из двенадцати ромбов. Заметим, что равными ромбододекаэдрами можно заполнить все пространство (составить пространственный паркет). Для этого сначала заполним пространство равными кубами, закрашенными в черный и белый цвета в шахматном порядке. Затем белые кубы разобьем на правильные четырехугольные пирамиды и присоединим их к черным кубам. Получим искомое заполнение пространства ромбододекаэдрами. При этом в каждой вершине сходится или шесть равных четырехгранных углов, или четыре равных трехгранных углов ромбододекаэдров. Таким образом, величина четырехгранного угла ромбододекаэдра равна 60 о, а величина трехгранного угла ромбододекаэдра равна 90 о. Ответ: 3-х гранные углы равны 90 о, а 4-х гранные 60 о.

15 Упражнение 12 Ответ: Да. Можно ли из усеченных октаэдров составить пространственный паркет?

16 Фотографии кристаллов можно посмотреть на сайте минералогического музея им. А.Е. Ферсмана в Москве,