19.02.20142 Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду. Толстой Л.Н. - презентация

1

2 Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду. Толстой Л.Н.

3 рассмотреть основные виды уравнений познакомиться с различными методами решения уравнений Задачи:

4 Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, - что следуя этому методу, мы достигнем цели. Лейбниц

5 Методы решения уравнений разложение многочлена на множители метод введения новой неизвестной комбинирование различных методов метод неопределенных коэффициентов

6 Разложение многочлена на множители Любой многочлен может быть представлен в виде произведения. Самые известные методы разложения многочленов это: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения, выделение полного квадрата, группировка, разложение квадратного трехчлена на множители по формуле

7 2x 5 -10x 4 +14x 3 -10x 2 +12х =0 2х (х 4 – 5х 3 + 7х 2 + 6) = 0 х = 0 х 4 – 5х 3 + 7х = 0 или (х-2)( х 3 - 3х 2 + х – 3)=0 (х-2)(х 2 ·(х-3)+(х-3))=0 (х-2)(х-3)(х 2 +1)= 0 х – 2 =0 или х – 3 =0 или х = 0 х =2 х =3 корней нет Ответ: 0,2, 3

8 В некоторых случаях путем замены выражения f(x), входящего в многочлен Р п (х), через у можно получить многочлен относительно у, который уже легко разложить на множители. Затем после замены у на f(x) получаем разложение на множители многочлена Р п (х) Метод введения новой неизвестной

9 пусть х 2 +2х +2 = t умножим обе части уравнения на 6t(t +1), где t0, t-1 6t 2 – 6 + 6t 2 – 7t 2 – 7t = 0 5t 2 – 7t – 6 = 0 t 1 =2 t 2 =-0,6

10 1) х 2 + 2х +2 =2 х 2 + 2х = 0 х(х+2)=0 х = 0 или х = - 2 2) х 2 +2х + 2 = -0,6 5х х + 13 = 0 D = < 0 корней нет Ответ: -2;0

11 Метод неопределенных коэффициентов Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

12 х 4 +4х х 2 +21х - 16=0 (x 2 +px+g)(x 2 +bx+c)= х 4 +х 3 (p+b)+x 2 (c+g+pb)+x(pc+gb)+gc p=-1, b=5, c=-16, g=1. х 4 +4х х 2 +21х-16=(x 2 +px+g)(x 2 +bx+c) (х 2 - х+1)(х 2 + 5х - 16)=0 1) х 2 - х+1= 0 или 2) х 2 + 5х - 16=0 D= -3 < 0 D = 89 Корней нет Ответ:

13 Виды уравнений квадратные уравнения биквадратные уравнения возвратные уравнения уравнения вида (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=А уравнения вида: (ax 2 + bx + c)(ax 2 + b 1 x + c 1 )=Ax 2 уравнения, однородные относительно многочленов

14 Возвратные уравнения Алгебраическое уравнение f(x)=0 называется возвратным, если у многочлена в левой его части, представленного в каноническом виде, равны коэффициенты членов, равноудаленных от его концов: первого и последнего, второго и предпоследнего и т.д. ax n + bx n-1 + cx n-2 +… + cx 2 + bx + a=0 общий вид :

15 aх n +bx n bx +a=0 ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0 at 2 +bt+c-2a=0 Рассмотрим алгоритм решения возвратных уравнений четной степени

16 2x 5 +5x 4 -13x 3 -13x 2 +5x+2= (x-1)(2x 4 +3x 3 -16x 2 +3x+2)=0 x-1=0 или 2x 4 +3x 3 -16x 2 +3x+2=0 2 t 2 +3t-20=0

17 2x 5 +5x 4 -13x 3 -13x 2 +5x+2=0 х+1=0 или 2x 4 +3x 3 -16x 2 +3x+2=0 1)2x 2 +5x+2=0 x 1 =2, x 2 =0,5 2) x 2 +4x+1=0 x=-1 Ответ: 0,5;2;

18 (х 2 -х+1) 4 - 6х 2 (х 2 -х+1) 2 = -5х 2 Пусть (х 2 -х+1) 2 = а; х 2 = b a 2 – 6ab + 5b 2 = 0 a(a-b) – 5b(a-b)=0 (a-b)(a-5b)=0 a=b или a=5b 1) (х 2 -х+1) 2 = х 2 2) (х 2 -х+1) 2 = 5х 2 х 2 -х+1= х

19 Федотова Тамара Валентиновна СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !