Непрерывность на отрезке Непрерывность на интервале Непрерывность в точке. - презентация

1 Непрерывность на отрезке Непрерывность на интервале Непрерывность в точке

2

3 Функция называется равномерно непрерывной на интервале (a,b), Равномерная непрерывность Определение. если для всякого существует такое что для любых точек удовлетворяющих условию верно неравенство

4 Пример. равномерна непрерывна

5 Непрерывность на Равномерная непрерывность на Непрерывность на Равномерная непрерывность на

6 Пример. непрерывна, но не равномерна непрерывна не равномерна непрерывна на

7 Пример. непрерывна, но не равномерна непрерывна не равномерна непрерывна на

8 Теорема 23 (Кантор) Если функция непрерывна на отрезке [a,b], равномерно непрерывна на этом отрезке. то она равномерно непрерывна на

9 Доказательство. «от противного» по теореме Больцано-Вейерштрасса

10 Доказательство. по определению Гейне по условию по т. о предельном переходе в неравенствах ! равномерна непрерывна на

11 Сравнение бесконечно малых функции Пусть - б.м.ф. при Если предел («альфа равно о малое от бета») то является б.м. более высокого порядка, чем

12 Пример. - б.м.ф. при

13 Если предел Б.м. функции одного порядка то называются б.м. функциями одного порядка.

14 Пример. - б.м.ф. при б.м.ф. одного порядка.

15 Если отношение Не сравнимые б.м. функции при не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного, то говорят, что б.м. при функции не сравнимы.

16 Пример. - б.м.ф. при не сравнимы. не существует не является б.б.ф. при

17 не сравнимы б.м.ф. одного порядка более высокого порядка б.м.ф.

18 Порядок малости Если предел то б.м. при функция имеет порядок малости относительно основной б.м. при функции Определение.

19 Пример. - б.м.ф. при при имеет порядок малости относительно б.м. функции

20 Эквивалентные б.м.ф. Две бесконечно малые при функции - б.м. функции одного порядка. равны асимптотически при Определение. называются эквивалентными, если предел их отношения в точке a равен единице:

21 Свойства отношения эквивалентности Эквивалентность Рефлексивность Симметричность Транзитивность

22 Примеры. - б.м.ф. при

23 Основные эквивалентности б.м.ф.

24

25

26 Таблица эквивалентностей

27 Главный степенной член функции Если для функции можно подобрать числа такие, что то говорят, что есть главный степенной член функции функция Определение.

28 Замена б.м.ф. эквивалентными Пустьб.м.ф. при причём Если в точке имеет конечныйили бесконечный предел, то он не изменится призамене на Теорема 24. отношение

29 б.м.ф. при Замена б.м.ф. эквивалентными Теорема 24.

30 Доказательство. С - конечное С - бесконечное по теореме о пределе произведения

31 Пример. Вычислить по тереме о замене б.м.ф.

32 Условие эквивалентности Теорема 25. Для того, чтобы б. м. при функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы при была б.м.ф. более высокого порядка, чем они сами.

33 Условие эквивалентности Теорема 25. б.м.ф. при

34 Доказательство. Необходимость. Достаточность. по т. о пределе разности +(1) по т. о пределе суммы +(2)

35 Символы о и О (символы Ландау)

36 Пусть функции определены в окрестности кроме, быть может, самой точки, причём Говорят, что есть о-малое от если Определение о-малое

37 бесконечно малая по сравнению с определение

38 Примеры.

39 Говорят, что если существует число М>0 и окрестность есть О-большое от такие, что Определение О-большое

40 определение О-большое

41 Примеры.

42 Формулы

43 определение Эквивалентные или асимптотически равные функции

44 Асимптотические формулы