ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН МАТЕМАТИКА 9 КЛАСС МОДУЛЬ ГЕОМЕТРИЯ (часть 2) Выпуклые четырёхугольники Специфика. - презентация

1 ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН МАТЕМАТИКА 9 КЛАСС МОДУЛЬ ГЕОМЕТРИЯ (часть 2) Выпуклые четырёхугольники Специфика параллелограммов Специфика трапеций Учитель математики МОУ СОШ им. А.С. Попова г.о. Власиха Московской области Вершинина Наталия Владимировна

2 Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними: O d1d1 d2d2 α

3 O d1d1 d2d2 α S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на части так, что произведения площадей треугольников, прилегающих к противоположным сторонам четырёхугольника, равны: Обоснование: найти площадь каждого из образованных диагоналями четырёх треугольников по формуле Затем сложить эти площади (свойство 1) или перемножить (свойство 2).

4 Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади данного четырёхугольника.

5 C D B A s s s s o 1.Диагонали параллелограмма делят его на две пары равных треугольников; площади всех этих треугольников равны между собой. Специфика параллелограмма

6 C D B A b a o a b d1d1 d2d2 2.В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его cторон: d d 2 2 = 2(a 2 +b 2 ) Специфика параллелограмма

7 3. Биссектрисы углов, прилежащих к любой из сторон параллелограмма, перпендикулярны. C D B A

8 Специфика параллелограмма C D B A 4.При проведении биссектрисы любого угла параллелограмма получается равнобедренный треугольник.

9 Специфика параллелограмма C D B A 1.Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. 2.Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. 3. Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, является ромбом.

10 C D B A Специфика параллелограмма C D B A 5. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником. 6. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны, является квадратом. C D B A 4.Параллелограмм, имеющий равные высоты, является ромбом.

11 C D B A s s1s1 s s2s2 o Специфика трапеций 1.Диагонали трапеции, пересекаясь, образуют четыре треугольника, два из которых равновелики, а два других – подобны с коэффициентом подобия равным отношению оснований трапеции. OAD ~ OCB (по двум равным углам), S OAD : S OCB = k 2, где k = AD:BC = OA:OC = OD:OB.

12 C D B A s s1s1 s s2s2 o Специфика трапеций 2. S BAD = S CAD, S ABC = S DBC (как площади треугольников, имеющих cоответственно одинаковые основания и высоты). 3. S OAB = S OCD (т.к. S OAB = S ABC – S OBC = S DBC – S OBC = S OCD ). 4. S BAD : S DBC = AD : BC (S BAD = 0,5·AD·h, S DBC = 0,5·BC·h).

13 C D B A s s1s1 s s2s2 o Специфика трапеций 5. Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника так, что произведение площадей тех из них, которые прилежат к основаниям, равно квадрату площади треугольника, прилежащего к любой из боковых сторон трапеции: S 1 S 2 = S 2. (S OAD =S 1 =0,5·OB·OC·sin α, S OCB = S 2 =0,5·OA·OD·sin α, S OAB =S=0,5·OA·OB·sin(180° – α)=0,5·OA·OB·sin α, S OCD =S=0,5·OC·OD·sin(180° – α)=0,5·OA·OB·sin α, тогда S 1 S 2 = S 2 ).

14 6. Биссектрисы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, перпендикулярны (следует из того факта, что сумма этих углов равна 180° как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей). C D B A C D B A o 7. Точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон, середина верхнего и середина нижнего основания – лежат на одной прямой. Специфика трапеций

15 Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию. C D B A Построение 1 Через вершину меньшего основания трапеции провести прямую, параллельную её боковой стороне, до пересечения со вторым основанием; трапеция разбивается на параллелограмм и треугольник.

16 Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию C D B A E Построение 2 Из вершины С меньшего основания трапеции ABCD провести прямую CE, параллельную диагонали BD, до пересечения с AD в точке E; получится треугольник ACE, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а длина третьей равна сумме длин оснований трапеции AE = AD + DE. При этом площадь трапеции ABCD равна площади образованного треугольника ACE: S ABCD = S ACE

17 Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию C D B A H1H1 H2H2 C D B A P Построение 4 Достроить трапецию ABCD до треугольника APD, вершина Р которого образуется при пересечении продолжений боковых сторон трапеции. Построение 3 Из вершин меньшего основания трапеции опустить две высоты BH 1 и CH 2.

18 Задача 1. (Тренировочные варианты Иркутск 2013г.) Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. O A D C B K P T H

19 Решение. 1.Точки K, Р, Т, Н середины сторон четырёхугольника ABCD. Отрезки АС и ВD – диагонали четырёхугольника ABCD. O A D C B K P T H 3.По условию КТ = РН; значит, параллелограмм КРТН – прямоугольник, угол КРТ – прямой; следовательно, угол между диагоналями ВD и АС тоже прямой, а значит, S ABCD = 0,5· ВD· АС = 0,5 · 3 · 4 = 6. Ответ: По свойству средней линии треугольника отрезки КН и РТ параллельны диагонали ВD и равны её половине; отрезки КР и НТ параллельны диагонали АС и равны её половине. Значит, КРТН – параллелограмм.

20 Задача 2. (ФИПИ 2014г.) На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р. Площадь параллелограмма ABCD равна 24, а площадь четырёхугольника РКСD равна 10. Найдите площадь треугольника АРD. C D B A K P

21 C D B A K P Решение. 1. AВD = CDB (по трём равным сторонам). S AВD = S CDB = 0,5·S AВCD = =0,5·24=12; S КРB = S CDB – S PKCD = 12 – 10 = 2 2. APD ~ KPB (по двум равным углам); S AРD : S KPB = k 2 ; AP=k·PK, DP=k·PB 3. AВP и ВPK имеют общую высоту из вершины В, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. S AВP : S KPB = АP : PK = k (из п.2) 4. APD и ABP имеют общую высоту из вершины A, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. S AP D : S AВP = DP : PB = k (из п.2)

22 C D B A K P 5. Из п.3 и п.1 S AВP = k·S KPB = 2k 6. Из п.4 и п.5 S APD = k·S ABP = k·2k = 2k 2 7.S ABD = S AВP + S APD = 2k + 2k 2. Из п.1 следует 2k + 2k 2 = 12. Корни уравнения k 2 + k – 6 = 0 числа –3 и 2; по смыслу задачи k = S APD = 2k 2 = 2·2 2 = 8. Ответ: 8.

23 C D B A s s1s1 s s2s2 o Задача 3. (МИОО 2013г.) Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников OАD и OCВ равны соответственно 16 см 2 и 9 см 2. Найдите площадь трапеции.

24 C D B A s s1s1 s s2s2 o 3. AВО и СВО имеют общую высоту из вершины В, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. S AВО : S CВО = ОА : ОC = 4:3 (из п.2). Следовательно, S AВО = Решение. 1.По условию S OAD не равна S OCB, значит, AD и BC – основания трапеции ABCD. 2. OAD ~ OCB (по двум равным углам), S OAD : S OCB = k 2 =16:9, где k = 4:3 = OA:OC.

25 C D B A s s1s1 s s2s2 o 4. S BAD = S CAD, т. к. эти треугольники имеют общее основание AD и их высоты, проведённые к этому основанию, равны как высоты трапеции. Значит, S OAB = S ABC – S OBC = S DBC – S OBC = S OCD, т. е. S OCD = S OAB = S AВCD = S OAD + S OCB + S OCD + S OAB = = 49 cм 2. Ответ: 49 cм 2.

26 K P N A o M B Задача 4. (МИОО 2010г.) Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB, если MP=40 см, NK=24 см.

27 K P N A o M B 2. Δ AMO~ Δ NMK по двум углам: а) М общий; б) MAO= MNK как соответственные при AO параллельной NK и секущей MN. Решение. 1. Δ MOP~ Δ KON по двум углам: а) NOK= MOP как вертикальные б) PMO= NKO как внутренние накрест лежащие углы при NK параллельной MP и секущей MK.

28 K P N A o M B 3. Аналогично 4. AB = 30 см. Ответ: 30 см.

29 Задача 5. (МИОО 2013г.) В трапеции ABCD на диагонали BD выбрана точка Е так, что Площадь треугольника DCB равна 15. Найдите площадь треугольника АBЕ. C D B A F E

30 Решение. 1. Пусть точка F – точка пересечения прямых CE и AD. Тогда ABCF – параллелограмм (по определению параллелограмма ). BF – диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника; S FCB = 0,5·S ABCF C D B A F E

31 3. AВE и параллелограмм ABCF имеют одно и то же основание AB и общую высоту, проведённую к AB. Значит, S АВЕ = 0,5·S ABCF = S DCB = 15. Ответ: 15. C D B A F E 2. S DCB = S FCB (как площади треугольников, имеющих общее основание и одинаковую высоту – высоту трапеции). Значит, S DCB = S FCB = 0,5·S ABCF = 15.

32 Задача 6 (МИОО 2013г.) В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если площадь трапеции ABCD равна 36. D A BNCM H E

33 D A BNCM H E Решение. По свойству равнобедренной трапеции AC=BD, следовательно, треугольники ABC и DCB равны. Так как AB=BC=CD, треугольники ABC и DCB равнобедренные, следовательно, BH и CE – соответствующие медианы этих треугольников. Значит, AH=HC=BE=ED. Отрезок HE соединяет середины диагоналей трапеции, cледовательно, прямые HE, AD и BC параллельны, поэтому, BCEH – трапеция.

34 D A BNCM H E Площадь трапеции ABCD: Ответ: 9.

35 Задача 7. Диагонали трапеции 3 и 5; отрезок, соединяющий середины оснований 2. Найдите площадь трапеции. C D B A F K L M Решение. 1. Дополнительное построение: СМ параллельна KL, CF параллельна BD. 2. Из построения следует: LKCM и DBCF параллелограммы; LM = KC = 0,5·BC, DF= BC, AM = AL+LM = 0,5· AD + 0,5·BC. 3. CM – медиана треугольника ACF. По формуле медианы

36 C D B A F K L M 4.Пусть h – высота трапеции ABCD или треугольника ACF. Тогда S ABCD = 0,5·(AD+BC)·h = 0,5·(AD+DF)·h = 0,5·AF·h = S ACF =6. Ответ: 6. По формуле Герона Полупериметр треугольника ACF равен

37 1. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. 2. В выпуклом четырёхугольнике ABCТ длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CТ, равна одному метру. Прямые BТ и AC перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BТ. 3. На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р. Площадь параллелограмма ABCD равна 80, а площадь четырёхугольника РКСD равна 31. Найдите площадь треугольника АРD. Задачи для самостоятельного решения Ответ: 20. Ответ: 1 метр. Ответ: 25.

38 4. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников АOD и ВOC равны соответственно 25 см 2 и 16 см 2. Найдите площадь трапеции. 5. Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны AB и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка ЕF, если AD= =12 см, ВC=24 см. 6. В трапеции ABCD (AD параллельна BC, AD > BC) на диагонали AC выбрана точка Е так, что ВЕ параллельна CD. Площадь треугольника АВC равна 10. Найдите площадь треугольника DЕC. Задачи для самостоятельного решения Ответ: 81 см 2. Ответ: 16 см. Ответ: 10.

39 А.С. Зеленский, И.И. Панфилов «Геометрия в задачах». Учебное пособие для учащихся старших классов и поступающих в вузы. – Москва, НТЦ «Университетский» УНИВЕР-ПРЕСС, И.В. Ященко, С.А. Шестаков и др. Математика. 9 класс. Типовые тестовые задания. – «Экзамен», Москва, Образовательный портал для подготовки к экзаменам РЕШУ ЕГЭ Использованные источники