ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ В ОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ 1. Движение свободной частицы 2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными внешними. - презентация

1 ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ В ОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ 1. Движение свободной частицы 2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными внешними «стенками» 3. Гармонический осциллятор 4. Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект.

2 1. Движение свободной частицы Свободная частица – частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Т.к. на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси x) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы U(x)=const и ее можно принять равной нулю: (U=0) Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. В таком случае уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид

3 Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения является функция где A=const и k=const, с собственным значением энергии:

4 Зависимость энергии от импульса оказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (т.к. число может принимать любые значения), т.е. ее энергетический спектр является непрерывным.

5 Таким образом, свободная частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому способствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства. т.е. все положения свободной частицы являются равновероятностными.

6 2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными внешними «стенками» Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера, применительно к частице в яме с бесконечно высокими «стенками».

7 Такая яма описывается потенциальной энергией вида где l – ширина «ямы», энергия отсчитывается от ее дна. (для простоты принимая, что частица движется вдоль оси x)

8 Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде:

9 По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения, (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах ямы волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в таком случае имеют вид

10 В пределах «ямы» (0 x l) уравнение Шредингера сведется к уравнению где Общее решение дифференциального уравнения Уравнение Ψ(l) = A sin kl = 0 выполняется только при

11 Отсюда следует, что: где n = 1, 2, 3… Т.е. стационарное уравнение Шредингера описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях E n, зависящих от целого числа n. Следовательно, энергия E n частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется.

12 Квантовые значения энергии E n называется уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни - главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне E n, или как говорят, частица находится в квантовом состоянии n.

13 Найдем собственные функции: Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки: В результате интегрирования получим Соответственные функции будут иметь вид: где n = 1, 2, 3…

14 Графики собственных функций соответствующие уровням энергии при n = 1, 2, 3…

15 Плотность вероятности |Ψ(x)| 2 обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы для n = 1,2,3 В квантовом состоянии с n = 2 частица не может находиться в центре ямы, в то время как одинаково может пребывать в ее левой и правой частях.

16 Из выражения следует, что энергетический интервал между двумя соседними условиями равен Например, для электрона при размерах ямы l=10 –10 м (свободные электроны в металле) ΔE n 10 –35 *n Дж 10 –16 *n Эв, т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр можно считать практически непрерывным.

17 Если же размеры ямы соизмеримы с размерами стенки (l 10 –10 м), то для электрона ΔE n 10 –17 *n Дж 10 –2 *n Эв, т.е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Т.о., применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими стенками приводит к квантовым значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы лишних ограничений не накладывает.

18 Кроме того, квантово-механическое рассмотрение этой задачи приводит к выводу, что частица в потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию, меньшую, чем минимальная энергия равная Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей.

19 Неопределенность координаты Δx частицы в яме шириной l равна Δx = l. Тогда согласно соотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное, в данном случае, нулевое, значение. Неопределенность импульса: Такому разбросу значений импульса соответствует минимальная кинетическая энергия:

20 При больших квантовых числах n>>1 т.е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше n. Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов – дискретность – сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923 г.) согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

21 Принцип соответствия: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применимости, причем в определенных предельных условиях новая теория переходит в старую.

22 3. Гармонический осциллятор Гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы F=kx Потенциальная энергия частицы где

23 . В точках с координатами –x 0 и +x 0, полная энергия равна потенциальной энергии. Поэтому с классической точки зрения частица не может выйти за пределы области –x 0 и +x 0 График потенциальной энергии частицы:

24 Гармонический осциллятор в квантовой механике - квантовый осциллятор - описывается уравнением Шредингера: Значения полной энергии осциллятора где n = 0, 1, 2…

25 ΔE n = ω и не зависит от n. называется нулевой энергией, т.е. при Т = 0К колебания атомов в кристаллической решетке не прекращаются. Это означает что частица не может находиться на дне потенциальной ямы. Минимальная энергия

26 В квантовой механике вычисляется вероятность различных переходов квантовой системы из одного состояния в другое. Для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними уровнями. Условия, накладываемые на изменения квантовых чисел при переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора:

27 Плотность вероятности нахождения частицы |Ψ| 2 =ΨΨ * При n = 2 в середине ямы частицы быть не может.

28 Таким образом, энергия гармонического осциллятора изменяется только порциями, т.е. квантуется Причем минимальная порция энергии Кроме того например, при n = 2 в середине сосуда частицы быть не может.

29 Кроме того, квантово – механический расчет показывает, что частицу можно обнаружить и за пределами ямы, т.е. в области с координатами –x 0 и +x 0, в то время как с классической точки зрения она не может выйти за пределы этой ямы.

30 Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы высоты U и шириной l для одномерного (по оси х) движения частицы. При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е: - либо беспрепятственно пройдет над барьером, - либо отразится от него (E < U) и будет двигаться в обратную сторону, т.е. она не может проникнуть через барьер. 4. Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект

31 х При E l, т.е. проникнет сквозь барьер. Такой вывод следует непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при данных условиях задачи. Для микрочастицы же, даже при E > U, имеется отличная от нуля возможность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону.

32 Уравнение Шредингера для состояний для каждой их выделенных областей имеет вид: Общее решение этих дифф. уравнений: Здесь q = iβ – мнимое число,

33 Учитывая значение q и то, что А 1 = 1, B 3 = 0, получим решение уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде: В области 2 функция уже не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени не мнимые а действительные.

34 1. В области 1 плоская волна де Бройля. 2. Волновая функция не равна нулю и внутри барьера, хотя уже не соответствует плоским волнам де Бройля 3. В области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т.е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Качественный анализ функций Ψ 1 (x), Ψ 2 (x), Ψ 3 (x) показан на рис.

35 Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому квантовому явлению - туннельному эффекту, в результате которого микрообъект может пройти через барьер. Коэффициент прозрачности для барьера прямоугольной формы Для барьера произвольной формы

36 Прохождение частицы сквозь барьер можно пояснить соотношением неопределенностей: Неопределенность импульса на отрезке Δx = l составляет Связанная с этим разбросом в значении импульса кинетическая энергия может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия оказалась больше потенциальной.

37 С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при E < U невозможно, так как частица, находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией. Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом.

38 Основы теории туннельных переходов заложены работами советских ученых Л.И. Мандельштама и М.А. Леонтовича в 1928 г. Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений: физики твердого тела (например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики (например, α-распад, протекание термоядерных реакций).