Тема: Моделирование физических явлений при помощи пакета Mathematica II. Типы данных 1.Основные классы данных 2.Выражения 3.Списки и массивы 4.Объекты. - презентация

1 Тема: Моделирование физических явлений при помощи пакета Mathematica II. Типы данных 1.Основные классы данных 2.Выражения 3.Списки и массивы 4.Объекты и идентификаторы 5.Функции, опции, атрибуты и директивы 6.Подстановки 7.Функции линейной алгебры Лекция 2 Лектор Склярова Е.А.

2 Основные классы данных Mathematica оперирует с тремя основными классами данных: 1. численными данными, представляющими числа различного вида; 2. символьными данными, представляющими символы, тексты и математические выражения (формулы); 3. списками данными в виде множества однотипных или разнотипных данных.

3 Основные классы данных Численные данные а) Двоичные числа - 0 или 1. б) Десятичные числа ОбозначениеТип чиселПримеры задания Integerцелочисленные Rationalрациональные123/567-23/67 Realвещественные ^6 Complexкомплексные I

4 Основные классы данных в) Целые числа Целочисленные данные (Integer) это целые числа, например 1, 2 или 123, которые представляются системой без погрешности и ограничения разрядности. Более того, арифметические операции над целыми числами система выполняет также без погрешностей и без ограничения числа цифр. In[1]:= 20!+5! Out[1]=

5 Основные классы данных г) Данные вещественного типа Численные данные можно представить также десятичными вещественными числами, которые могут иметь различную форму, например, , 1.234*10^2, ^-2 и т.д. В общем случае они содержат мантиссу с целой и дробной частями и порядок, вводимый как степень числа 10. Выражение с порядком выделяется из мантиссы знаком умножения – либо пробелом, либо звездочкой *. В вводе для возведения в степень используется символ ^, но стандартный вывод задает порядок с применением чисел порядка в отдельной строке над мантиссой. Например: In[1]:= *10^100 Out[1]= In[2]:= N[Sin[1]] Out[2]=

6 Основные классы данных Mathematica производит операции с числами изначально как с целыми. Однако установка значка разделительной точки означает, что число должно рассматриваться как вещественное. Например, 1 целое число, но 1. уже вещественное число. Для представления выражения expr в форме вещественного числа используется функция N [expr] или N [expr, число_цифр_результата]. N[2*Pi,50]

7 Основные классы данных Функции IntegerPart [x] и FractionalPart [x] обеспечивают возврат целой и дробной частей вещественного числа х: N[Pi] IntegerPart[Pi] 3 FractionalPart[Pi] -3.+ Л N[FractionalPart[Pi]] Функция RealDigits [x] возвращает список реальных цифр результата и число цифр целой части х: RealDigits[N[2*Pi]] {{6, 2, 8, 3, 1, 8, 5, 3, 0, 7, 1, 7, 9, 5, 8, 6}, 1}

8 Основные классы данных д) Комплексные числа Многие математические операции базируются на понятии комплексных чисел, имеющих действительную и мнимую части. Они задаются в форме z=Re(z)+I*Im(z) или z=Re(z)+i Im(z) где знак I - мнимая единица (квадратный корень из -1), Re(z) - действительная часть комплексного числа, a Im(z) - мнимая часть. 2+I*3 или 2+3I Мнимая часть задается умножением ее значения на символ мнимой единицы I – (или i). При этом знак умножения * можно указывать явно или заменить пробелом. Части комплексного числа могут быть целыми, вещественными и рациональными числами.

9 Основные классы данных е) Cимвольные данные и строки Символьные данные в общем случае могут быть отдельными символами (пример a, b,...,z), строками (strings) и математическими выражениями expr (от expression - выражение), представленными в символьном виде. Символьные строки задаются цепочкой символов в кавычках, например, 0 ssss, и являются строчными объектами. \n новая строка (line feed); \ t табуляция. Примеры: "Hello my friend!" Hello my friend! "Hello\nmy\nfriend!" Hello my friend! "Hello\tmy\tfriend!" Hello my friend;

10 Основные классы данных ж) Выражения Выражения в системе Mathematica обычно ассоциируются с математическими формулами, например: Запись на языке MathematicaОбычная математическая запись 2*Sin[x]2*sin(x) 2 Sin[x]2*sin(x) (а +b^2 + с^З) / (3*d - 4*e)(a + b 2 +с 3 )/(3d-4е) sqrt(2) Integrate [Sin [x], х]

11 Основные классы данных Для записи математических выражений используются как операторы, так и функции. Тонкости синтаксиса системы, используемого при записи арифметических операций следующие: 1. знак умножения может быть заменен пробелом; 2. встроенные функции начинаются с прописной буквы и обычно повторяют свое общепринятое математическое обозначение; 3. круглые скобки () используются для выделения частей выражений и задания приоритета при их выполнении; 4. параметры функций задаются в квадратных скобках []; 5. фигурные скобки {} используются при задании списков.

12 Основные классы данных з) Списки и массивы Наиболее общим видом сложных данных в системе являются списки (иногда их называют листами) Списки представляют собой совокупность однотипных или разнотипных данных, сгруппированных с помощью фигурных скобок. {1,2,3}список из трех целых чисел; {a,b,c}список из трех символьных данных; {1,a,x^2}список из разнотипных данных; {{a,b},{c,d}}список, эквивалентный матрице; {x^2+y^2,2x Sin[x]}список из двух математических выражений.

13 Основные классы данных Объекты и идентификаторы В общем случае система Mathematica оперирует с объектами. Под ними подразумеваются математические выражения (expr), символы (symbols), строки из символов (strings), упомянутые выше числа различного типа, константы, переменные, графические и звуковые объекты и т. д. Каждый объект характеризуется своим именем идентификатором. Это имя должно быть уникальным, то есть единственным. Существуют следующие правила задания имен: sssss имя объекта, заданного пользователем; Sssss имя объекта, входящего в ядро системы; $Sssss имя системного объекта.

14 Основные классы данных Константы Константы являются типовыми объектами системы, несущими заранее предопределенное численное или символьное значение. Это значение не должно меняться по ходу выполнения документа. К численным константам относятся любые числа, непосредственно используемые в математических выражениях или в программных объектах, например, в процедурах и функциях. Используются следующие поименованные константы: ComplexInfinityкомплексная бесконечность, которая представляет величину с бесконечным модулем и неопределенной фазой; Degreeчисло радиан в одном градусе, которое имеет числовое значение /180; Eоснование натурального логарифма с приближенным числовым значением ; Infinityположительная бесконечность (со знаком минус – отрицательная бесконечность; Pi - число =3,14159 и другие.

15 Основные классы данных Переменные Переменные - это объекты, которые могут принимать различные значения, находящиеся в определенном допустимом множестве значений. Переменным обычно присваиваются имена- идентификаторы. var=value var - имя переменной; value - ее значение. Основные операции по присвоению переменным их значений в упрощенной форме: х=value- переменной х присваивается значение value, и оно выводится в строку вывода; x=y=...=value- значение value присваивается переменным x,y... и выводится в строку вывода; х:=value- значение value присваивается переменной x в невычисленной форме и не выводится в строку вывода;

16 Основные классы данных Примеры по присвоению значений переменной: g=Plot[Sin[x],{x,0,20}]– переменной g присваивается значение в виде графического объекта; y=1+x^2- переменной y присваивается символьное значение в виде математического выражения (1+x^2); z={1,2,x,a+b}– переменной z присваивается значение в виде списка, содержащего четыре элемента.

17 Основные классы данных Функции системы Функцией в системе Mathematica называют объект, который задается своим именем и списком формальных параметров в квадратных скобках и возвращает в ответ на обращение к нему по имени с указанием списка фактических параметров, некоторый результат. Он может иметь тип числа, строчного выражения или математического выражения - формулы. Под это определение попадает множество хорошо известных функций, например, алгебраические ln(x) или exp(x), тригонометрические sin(x), cos(x) и т.д. На языке Mathematica они записываются как Ln[x], Exp[x], Sin[x], Cos[x] и т.д. В общем виде функцией является объект вида: Идентификатор_функции[о1,о2,о3,…] Здесь о1, о2, о3,… - объекты-параметры, которые могут быть числами, константами, списками, математическими выражениями, символами, строками, математическими выражениями, символами, строками, опциями и т.д. (Таблица 1).

18 Основные классы данных Таблица 1. Математические функции в системе Mathematica Запись в математике Реализуемое действиеЗапись в системе Mathematica |x||x|абсолютное значениеAbs[x] cos xкосинус ХCos[x] sin xсинус ХSin[x] tg xтангенс ХTan[x] ctg xкотангенс ХGot[x] exex экспонента ХExp[x] ln xлогарифм натуральныйLog[x] log xлогарифм десятичныйLog[10,x] корень квадратныйSqrt[x] пиPi xNxN Х в степени Nx^N In[1]:= Fun[x_]:=Exp[x]-1 N[Fun[1.0],10] Out[1]=

19 Основные классы данных Функции генерации случайных чисел Для реализации статистических методов моделирования используются случайные числа. Система имеет генератор псевдослучайных чисел, доступ к которому обеспечивают следующие функции: Random [ ] возвращает равномерно равномерно распределенное псевдослучайное число типа Real в интервале от 0 до 1; Random [type, range] дает псевдослучайное число указанного типа type, лежащее в указанном интервале range. К возможным типам относятся Integer, Real и Complex. По умолчанию принят интервал от 0 до1. Можно задать интервал явно в виде {min, max}; спецификация интервала в виде max эквивалентна {0, max}; SeedRandom[n] сбрасыывает (устанавливает в начальное состояние) генератор случайных чисел, используя целое n как начальное число; SeedRandom [ ] устанавливает генератор, используя в качестве начальнго числа текущее время.

20 Основные классы данных Хотя генерируемые числа не являются строго случайными, их количество в повторяющейся последовательности очень велико. Использование специальной установки начального состояния генератора, например по времени дня, делает повторение последовательности практически невозможным. Для проверки равномерности распределения большого массива случайных чисел можно задать с их помощью случайные координаты и затем построить точки, соответствующие координатам (х, у).

21 Основные классы данных Выполнение арифметических операций Для выполнения простых арифметических операций достаточно набрать необходимое математическое выражение и нажать Enter (справа) а) арифметические вычисления In[1]:= N[Sin[1]] Out[1]= In[2]:= 2+2 Out[2]= 4 б) использование результатов предыдущих вычислений (%) % - возвращает результат последней предшествующей операции % - возвращает результат операций выполненной перед последней предшествующей операцией. In[3]:= %+4 Out[3]= 8

22 Основные классы данных в) вывод результатов вычислений Большинство функций системы возвращают результат в символьном виде. In[4]:= Sin[1] Out[4]= Sin[1] Функция с однобуквенным названием N[expr] дает численное вещественное значение (аппроксимацию) для любого выражения expr (expression - выражение), которое имеет численное значение. N[Sin[1]] Также можно задать вычисление любого выражения с выводом результатов в форме вещественного числа, используя expr// In[5]:= 1/3+2/7 Out[5]= In[6]:= 1/3+2/7//N Out[6]=

23 Основные классы данных г) арифметические вычисления с повышенной точностью Rationalize[x] и Rationalize[x,dx] дают приближение для числа х в виде рациональных чисел. Вторая из этих функций задает приближение с заданной точностью. In[7]:= Rationalize[N[Pi],10^-3] Out[7]=

24 Работа со списками и массивами Списки и их свойства Часто математические или иные объекты содержат множество данных, которые желательно объединять под заданным именем. Например, под объектом с именем М можно подразумевать квадратную матрицу элементов с их общим числом 100. Для объединения данных используются списки или листы (список - по английски list). Mathematica имеет обширные возможности работы со списками, содержащими не только однотипные, но и разнотипные данные – элементы. На языке системы список – это совокупность данных, указанных в фигурных скобках, например: {1,4,2,7,9} или {a,b,c,d,e} Списки можно составлять напрямую, задавая объекты в соответствии с описанным синтаксисом. Однако можно и генерировать некоторые виды списков, таких, как таблицы или массивы.

25 Работа со списками и массивами Генерация списков Для генерации списков с элементами - вещественными и целыми числам или даже целыми выражениями - особенно часто используется функция Table, создающая таблицу - список. Table[expr,{imax}]- генерирует список, содержащий imax экземпляров выражения expr; Table[expr,{imax}]- генерирует список значений expr при i, изменяющимся от 1 до imax с шагом 1; Table[expr,{imin, imax }]- генерирует список значений expr при i, изменяющимся от значения i=imin до i=imax с шагом 1; Table[expr,{imin, imax,di }]- генерирует список значений expr при i, изменяющимся от значения i=imin до i=imax с шагом di.

26 Работа со списками и массивами Примеры на использование функции Table: ПримерРезультатКомментарий Table[Exp[i],{5}]{E i,E i,E i,E i,E i }Генерация пяти значений Е^i (i=const) Table[i*j,{i,1,3},{j,1,3}{{1,2,3},{2,4,6},{3, 6,9}} Генерация матрицы размером 3*3

27 Работа со списками и массивами Применяется также функция Range для создания ранжированных числовых элементов, значения которых лежат в некотором диапазоне числовых значений. Примеры на использование функции Range: Range[imax]- генерирует список целых чисел от 1 до imax. Range[imin,imax]- генерирует список целых чисел от imin до imax. Range[imin,imax,di]- генерирует список вещественных чисел от imin до imax с шагом di. ПримерРезультатКомментарий Range[5]{1,2,3,4,5}Генерация пяти целых чисел Range[0,2,0.5]{0,0.5,1,1.5,2}Генерация пяти вещественных чисел

28 Работа со списками и массивами Выделение и вывод элементов списков. Списки представляли бы малую ценность, если бы не было средств выделения любых элементов из них. Но такие средства есть. Для выделения элементов списка используются двойные квадратные скобки. list[[i]]- выделяет i-й элемент списка; list[[{i,j,...}]]-выделяет i-й, j -й и т.д. элементы списка.

29 Работа со списками и массивами Для вывода элементов списка используется функция TableForm с рядом опций: TableForm[list]- выполняет вывод элементов списка list в табличной форме. TableAlignments- опция для TableForm и MatrixForm, которая устанавливает, как должно выравниваться содержимое списка в каждом измерении; TableDepth- опция для TableForm и MatrixForm, которая устанавливает максимальное число уровней, выводимых в табличном или матричном формате; TableDirection- опция для TableForm и MatrixForm, которая указывает, располагать ли последовательные измерения в виде строк или столбцов; TableHeadings- опция для TableForm и MatrixForm, которая дает метки (labels) для каждого измерения таблицы или матрицы; TableSpacing- опция для TableForm и MatrixForm, которая устанавливает количество пробелов, которые следует оставлять между соседними строками или столбцами.

30 Работа со списками и массивами Эти же опции используются и для функции MatrixForm[list], служащей для вывода матриц. Эта функция печатает элементы списка list следующим образом: каждый элемент списка заключен в квадратную ячейку одинакового с другими размера. Одноуровневый список печатается в виде столбца, а двухуровневый - в стандартной матричной форме. Векторы и матрицы являются разновидностью списков, причем векторы – это одномерные массивы, а матрицы – двумерные. ПримерРезультатКомментарий l1:={1,2,3,4,5}{1,2,3,4,5,} Задание исходного списка l1 l1[[3]]3 Выделение третьего элемента 3 l1[[{1,2,5}]]{1,2,5} Выделение первого, второго и пятого элементов l2={{1,2,3},{4,5,6}}{{1,2,3},{4,5,6}} Задание сдвоенного (двумерного) списка TableForm[l2] Вывод сдвоенного списка в табличной форме

31 Работа со списками и массивами Выявление структуры списков Списки относятся к данным сложной структуры. Поэтому при работе с ними возникает необходимость контроля за структурой списков, без чего их применение может привести к грубым ошибкам – как явным, сопровождаемым выдачей сообщения об ошибке, так и неявным. Для выявления структуры списков используется ряд функций: Lenght[list]- возвращает число элементов списка list; Dimensions[list]- возвращает размерность списка; MatrixQ[list]- проверяет, является ли список матрицей, и дает True, если это так, и False в противном случае; TensorRank[list]- возвращает ранг списка; MemberQ[list,form]- проверяет, есть ли form в списке, и возвращает True, если это так, и False в противном случае; Count[list,form]- возвращает число вхождений form в список; FreeQ[list,form]- проверяет, свободен ли список от form: если да, то возвращает True, иначе возвращает False; Position[list,form]- возвращает номер позиции form в списке; VectorQ[list]- проверяет, является ли список вектором, и возвращает True, если это так, и False в противном случае.

32 Работа со списками и массивами Примеры на использование этих функций: Система оставляет за пользователем свободу действий в зависимости от результатов анализа структуры списков. Ввод (In)Вывод (Out) l1={1,2,3,4,1} Lenght[l1]5 Dimensions[l1]{5} MatrixQ[l1]False TensorRank[l1]1 MemberQ[l1,1]True Count[l1,1]2 FreeQ[l1,5]True Position[l1,1]{{1},{5}} VectorQ[l1]True

33 Работа со списками и массивами Работа со списком в стеке Элементы списков могут размещаться в так называемом стеке. Стек – это особая структура хранения данных, чисто умозрительно напоминающая стопку тарелок в шкафу. В нашем примере тарелки – это данные. Очередную « тарелку » можно положить только сверху – на вершину стека. На дне стека лежит первая введенная в него « тарелка ». Стек подчиняется правилу: последнее введенное данное извлекается первым, а первое введенное данное извлекается последним. Стек относится к системам хранения данных динамического типа – его размеры непрерывно меняются по ходу вычислений. Стек может быть и пустым, если из него были извлечены все данные.

34 Работа со списками и массивами Работа со стеком Система Mathematica имеет обширный набор функций для операций со стеком. Приведем эти функции: Drop[list,n]- возвращает список list, из которого удалены первые n элементов; Drop[list, -n]- возвращает список list, из которого удалены последние n элементов; Drop[list, {n}]- возвращает список list без n-го элемента; Drop[list, {m,n}]- возвращает список list, отбросив элементы от m до n; $ Fold[f,x,list]- возвращает последний элемент из FoldList[f,x,list]; $ Last[list]- возвращает последний элемент списка list; Rest[list]- возвращает список с уничтоженным первым элементом; Take[list,n]- возвращает первые n элементов списка list; Take[list,-n]- возвращает последние n элементов списка list; Take[list,{m,n}]- возвращает элементы списка с порядковыми номерами от m до n.

35 Работа со списками и массивами Пояснить работу со стеком могут следующие примеры: Ввод (In)Вывод (Out) Drop[{1,2,3,4,5},2]{3,4,5} Drop[{1,2,3,4,5},-2]{1,2,3} Drop[{a,b,c,d,e},{2,4}]{a,e} Last[{1,2,3,4,5}]5 Rest[{1,2,3,4,5}]{2,3,4,5} Take[{1,2,3,4,5},2]{1,2} Take[{1,2,a,b,c},-2]{b,c} Take[{1,2,3,4,5},{2,4}]{2,3,4}

36 Работа со списками и массивами Включение в список новых элементов Mathematica дает ряд расширенных возможностей для работы со списками. Для расширения списка путем включения в него новых элементов используются следующие функции: Примеры, которые иллюстрируют применение этих функций: $ Append[list,element]- добавляет элемент в конец списка; Prepend[list,element]- добавляет элемент в начало списка; Insert[list,element,n]- вставляет элемент в позицию n (отчет позиции ведется с начала листа, а если задано -n, то с конца. Ввод (In)Вывод (Out) l={1,2,3}{1,2,3} Append[l,e]{1,2,3,e} Prepend[l,e]{e,1,2,3} Insert[l,e,2]{1,e,2,3}

37 Работа со списками и массивами Изменение порядка расположения элементов в списке Помимо добавления в список новых данных имеется возможность изменения порядка расположения данных в списке. Она реализуется следующими операциями: Flatten[list] $ - выравнивает (превращает в одноуровневый) список по всем его уровням; Flatten[list,n] $- выравнивает список по его n уровням; Flatten[list,n,h] $- выравнивает список с заголовком h по его n уровням; Sort[list]- сортирует элементы списка в каноническом порядке; Sort[list,p]- сортирует элементы списка list упорядочения p; $ Reverse[list] - возвращает список с обратным порядком расположения элементов; $ RotateLeft[list]- возвращает список после однократного поворота влево; $ RotateLeft[list,n]- возвращает список после n-кратного поворота влево; $ RotateRight[list]- возвращает список после однократного поворота вправо; $ RotateRight[list,n]- возвращает список после n-кратного поворота вправо; $ Transpose[list]- осуществляет транспозицию (смену строк и столбцов) для двумерного списка; $ Transpose[list,n]- осуществляет транспозицию n–мерного списка; Union[list1,list2,…] - возвращает отсортированный список всех различающихся между собой элементов, принадлежащих любому из данных списков listi; Union[list] - возвращает отсортированный вариант списка list, в котором опущены все дублируемые элементы.

38 Работа со списками и массивами Примеры на использование этих функций: Ввод (In)Вывод (Out) l3={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}} Flatten[l3] Sort[list]{e,1,2,3} Sort[{1,5,3,4,2}]{1,e,2,3} Reverse[{1,2,3,4}]{4,3,2,1} RotateLeft[{1,2,3,4,5},2]{3,4,5,1,2} RotateRight[{1,2,3,4,5},2]{4,5,1,2,3} l2={{a,b},{c,d}}; Union[list1,list2,…]{1,2,3,4,5,7} Union[list]{1,2,3,4}

39 Работа со списками и массивами Иногда возникает необходимость комбинирования нескольких списков. Для этого используются операции: Приведем примеры: $ Intersection[list1,list2,…]- возвращает упорядоченный список элементов, общих для всех списков; Join[list1,list2,…]- объединяет списки в единую цепочку, может применяться на любом множестве выражений, имеющих один заголовок. Ввод (In)Вывод (Out) l1={1,2,3,4,5}; l2={a,b,3,4,c}; Intersection[l1,l2]{3,4} Join[l1,l2]{1,2,3,4,5,a,b,3,4,c}

40 Работа со списками и массивами Для работы со списками используются также следующие, менее распространенные функции. Cases[{e1,e2,…},pattern]- возвращает список тех ei, которые соответствуют заданному шаблону (pattern); $ Сomplement[eall,e1,e2,…]- возвращает элементы eall, которых нет среди ei; ComposeList[{f1,f2,…},x]- формирует список формы {x,f1[x],f2[f1[x]],…}; Count[list,pattern]- возвращает количество элементов в списке list, соответствующих образцу pattern; $ DeleteCases[{e1,e2,…}, pattern] - удаляет из списка элементы, которые соответствуют заданному шаблону (pattern); $ FoldList[f,x,{a,b,…}]- возвращает {x,f[x,a],f[f[x,a],b],…}; Position[expr,pattern]- возвращает список позиций в expr, в которых размещаются объекты, сопоставимые с указанным шаблоном pattern; Select[list,crit]- выбирает все элементы ei списка list, для которых crit[ei] имеет значение True; Select[list,crit,n]- выбирает из первых n элементов, для которых crit[ei] есть True.

41 Работа со списками и массивами Массивы - списки Совокупность данных образует массив (Array). Массивы могут быть одномерными (один список), двумерными и многомерными (два списка и более). Одномерные массивы в математике называют векторами, двумерные - матрицами. Mathematica позволяет создавать многомерные массивы - число элементов в них ограничено лишь объемом памяти компьютера. Для задания массивов используются следующие функции: Array[f,n]- генерирует список длиной n с элементами f[i], где I имеет значения от 1 до n. Array[f,{n1,n2,...}]- генерирует массив с размерностью n1*n2*... в виде вложенных списков с элементами f[i1,i2,...]; Array[f,dims,origin]- генерирует список с размерностью dims, используя спецификацию индекса origin; Array[f,dims,origin,h]- использует заголовок h,а не List, для каждого уровня массива.

42 Работа со списками и массивами Примеры задания массивов и их вывода: Ввод (In)Вывод (Out) Y:=Array[Exp,4] Y{E 2,E 3,E 4,E} N[Y]{ , , , } Array[Sin,3,0]{0,Sin[1],Sin[2]} Array[f,5,2,2]2[f[2],f[3],f[4],f[5],f[6]]

43 Работа со списками и массивами Функции для операции с массивами Основные операции над массивами и матрицами позволяет осуществить следующая группа функций: Det[m] - возвращает детерминант (определитель квадратной матрицы m; DiagonalMatrix[list] - возвращает диагональную матрицу с главной диагональю, сформированной из элементов списка list, и нулевыми остальными элементами матрицы; Dot[a,b,c] - возвращает произведения векторов, матриц и тензоров (эту операцию можно задавать также и в виде a.b.c); Eigensystem[m] - возвращает список {values,vectors} собственных значений и принадлежащих им собственных векторов для квадратной матрицы m; Eigenvalues[m] - возвращает список собственных значений квадратной матрицы m; Eigenvectors[m] - возвращает список собственных векторов квадратной матрицы m; IdentityMatrix[n] - возвращает единичную матрицу с размером n n (ее диагональные элементы имеют значения 1, остальные 0); Inverse[m] - возвращает обратную матрицу для квадратной матрицы m, т.е. матрицу m^-1. Будучи умноженной на исходную матрицу m, эта матрица дает единичную матрицу; LinearSolve[m,b] - возвращает вектор х- решение матричного уравнения m.x==b, где m – матрица коэффициентов левой части системы линейных уравнений, x – вектор неизвестных и b – вектор свободных членов в правой части системы; MatrixExp[m]- возвращает экспоненциал матрицы m; MatrixPower[m,n]- возвращает n-ю степень матрицы m; и другие.

44 Работа со списками и массивами Примеры применения основных из этих функций: Ввод (In)Вывод (Out) A:=IndentityMatrix[3] A{{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}} MatrixExp[А]{{E,0,0},{0,E,0},{0,0,E}} MatrixPower [MatrixExp{A},-1.5} {{ ,0,0},{0, ,0},{0,0, }} m:={{1,2},{3,7}} MatrixForm[m] Det[m]1 Eigensystem[m] {{4-Sqrt[15],4+Sqrt[15]}, Inverse[m]{{7,-2},{-3,1}}

45 Расширенные математические возможности Суммы и произведения Маthematica обладает широкими возможностями в реализации расчетов, относящихся к различным разделам математического анализа. В частности, система позволяет вычислять суммы и произведения вида: В этих операциях суммируются или перемножаются значения некоторой функции f i. Управляющая переменная i в общем случае принимает значения от минимального (начального) imin до максимального (конечного) imax с шагом равным di. При целочисленных значениях i эта переменная называется индексной и прямо указывает на индекс соответствующего элемента ряда.

46 Расширенные математические возможности Вычисление сумм Для вычисления сумм в системе предусмотрен ряд функций: Sum[f,{i,imax}]- вычисляет сумму значений f при изменении индекса i от 1 до imax c шагом +1. Sum[f,{i,imin,imax}]- вычисляет сумму значений f при изменении индекса i от минимального значения i=imin до максимального i=imax c шагом +1. Sum[f,{i,imin,imax,di}]- вычисляет сумму значений f при изменении управляющей переменной вещественного типа от минимального значения i=imin до максимального i=imax c шагом di. Sum[f,{i,imin,imax},{j, jmin,jmax}] - вычисляет многократную сумму значений f при изменении индеков i от imin до imax c шагом +1, j от jmin до jmax c шагом +1 (число индексных переменных не ограничено). NSum[f,{i,imin,imax}]- возвращает численное значение суммы f при индексе i, изменяющемся от imin до imax c шагом +1. Nsum[f,{i,imin,imax,di}] - возвращает cумму численных значений суммы f при индексе i, изменяющемся от imin до imax c шагом di.

47 Расширенные математические возможности Приведем примеры использования основных функций суммирования: Ввод (In)Вывод (Out) Sum[i^2,{i,10}]385 Sum[i^2,{i,0,1,0.25}]1.875 Sum{i*j,{i,1,10},{j,2,5}] NSum[i^2,{i,5})55 Таким образом, эти функции обеспечивают расширенные возможности вычисления сумм - как при целочисленных, так и вещественных значениях управляющих переменных переменных, задающих циклы вычислений.

48 Расширенные математические возможности Вычисление произведений Операции вычисления произведений представлены следующими функциями: Product[f,{i,imax}] - численное значение произведений значений f при изменении индекса i от 1 до imax c шагом +1. Product [f,{i,imin,imax}]- возвращает численное значение произведения f при изменении i от imin до imax c шагом +1. Product [f,{i,imin,imax,di}]- возвращает численное значение произведения f при i, изменяющемся от imin до imax c шагом di. Product[f,{i,imin,imax}, {j,jmin,jmax}] - вычисляет многократное произведение по нескольким переменным.

49 Расширенные математические возможности Примеры использования функций вычисления произведения: Ввод (In)Вывод (Out) Product [i,{i,10}] NProduct [k^2,{k,1,5}] NProduct [i^2,{I,1,2,0.2}] Product [Log[i],{i,2,5,0.5}] Log[2]

50 Расширенные математические возможности Вычисление производных К числу наиболее часто используемых математических операций принадлежит вычисление производных функций f(x) как в аналитической, так и в символьной форме. Для этого используются следующие функции:

51 D[f,x] - возвращает частную производную функции f по переменной х; D[f,{x,n}] - возвращает частную производную n-го порядка по переменной х; D[f,x1,x2,...] - возвращает смешанную производную; Derivative[n1,n2,...][f] - обобщенная форма дифференцирования функции f, получаемая в результате дифференцирования f n1 раз по первому аргументу, n2 раза по второму аргументу и т.д. Dt[f,x] - возвращает обобщенную производную функции f по переменной х; Dt[f] - возвращает n-ю обобщенную производную по переменной х. Dt[f] - возвращает n-ю обобщенную производную по переменной х. Dt[f,x1,x2,...] - возвращает смешанную обобщенную производную. Расширенные математические возможности

52 Примеры вычисления производных: Ввод (In)Вывод (Out) D[(x+1)*(x^2+2),x] 2+x 2 +2 x (1+x) D[x^a,x,a] x –1+a +a x -1+a Log[x] Dt[x^4,x,x] 12 x 2

53 Расширенные математические возможности Вычисление первообразных и определенных интегралов Для вычисления интегралов в системе используются следующие функции: Integrate[f,x]- возвращает первообразную (неопределен-ный интеграл) подынтегральной функции f по переменной х; Integrate[f,{x,xmin,xmax}]- возвращает значение определенного интеграла с пределами a=xmin до b=xmax; Integrate[f,{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax},...] - возвращает значение кратного интеграла с пределами от xmin до xmax по переменной х, от ymin до ymax по переменной y (кратность реально не ограничена).

54 Расширенные математические возможности Для обозначения реальных пределов используется константа Infinity, означающая положительную бесконечность. Пределы могут задаваться как константами так и функциями. Ввод (In)Вывод (Out) Integrate[a*x^b, x] Integrate[x*sqrt[1+x], {x,0,3}] Integrate[1/(x*sqrt[x^2-1]), {x,1,Infinity}]

55 Расширенные математические возможности Для вычисления численных значений определенных интегралов используется функция NIntegrate[f,{x,xmin,xmax}] Она возвращает приближенное значение интеграла от функции f по переменной х в интервале от xmin до xmax. NIntegrate[,{x,0.5,2}]

56 Расширенные математические возможности Вычисление пределов функций Система Mathematica не только вычисляет пределы функций, заданных аналитически, в виде числа, но и позволяет найти предел в аналитическом виде. Для этого используется функция Limit[expr,x->x0]. Она ищет значение предела выражения expr при х, стремящемся к 0. Ввод (In)Вывод (Out) Limit[sin[n*x]/x, x 0] n Limit[1/Log[x]-1/(x-1),x->1]1/2 Limit[x^2+x+2)/(x^2-2*x-3),x->3, Direction->-1]Infinity

57 Расширенные математические возможности При работе с функцией Limit используются следующие опции: Directionуказывает направление, в котором возможно приближение к пределу. Опция используется в виде Direction ->-1 (или +1); Automaticзадает автоматический выбор вида функции при вычислении предела. Применение этих опций может оказаться полезным в сложных случаях вычисления пределов.

58 Расширенные математические возможности Решение уравнений Многие математические задачи сводятся к решению нелинейных уравнений вида f(x)=0 или f(x)=expr Эти уравнения обозначаются как eqns (от слова equations - уравнения). Разумеется, могут решаться и системы, состоящие из ряда таких уравнений. Для решения уравнений в символьном виде система имеет функцию Solve[eqns,vars] В этом случае функция пытается найти решение уравнений eqns по переменным vars. Solve[eqns,vars,elims]- функция пытается найти решение уравнений eqns по переменным vars c исключением переменных elims. Ввод (In)Вывод (Out) Solve[a*x^2+b*x+c==0,x] Solve[{y==x^2, x==(a+b)},{x,y}]

59 Расширенные математические возможности Численное решение уравнений с помощью функции NSolve Многие нелинейные уравнения и системы нелинейных уравнений в принципе не имеют аналитических решений. Однако вполне возможно их решение численными методами. Для численного решения уравнений используется следующая функция: NSolve[eqns,vars]- пытается решить численным методом одно уравнение или систему уравнений относительно переменных vars. NSolve[eqns,vars,elims]- пытается решить численным методом уравнения относительно переменных vars, исключая переменные elims. Ввод (In)Вывод (Out) NSolve[2*x^2+5*x-15==x^3,x] NSolve[x^3==5,x,15]

60 Расширенные математические возможности Решение дифференциальных уравнений в символьном виде Дифференциальными уравнениями принято называть уравнения, в состав которых входят производные функции y(x), представляющей решение уравнения. Дифференциальные уравнения могут быть представлены в различной форме, например в общеизвестной форме Коши Несколько взаимосвязанных дифференциальных уравнений образуют систему. Для решения дифференциальных уравнений в символьном виде используются следующие средства: DSolve[eqn,y[x],x]- решает дифференциальное уравнение относительно функции y[x] с независимой переменной х; DSolve[{eqn1,eqn2,...}, {y1[x1,...],...},{x1,...}] - решает систему дифференциальных уравнений;

61 Расширенные математические возможности Приведем примеры решения дифференциальных уравнений: Ввод (In)Вывод (Out) DSolve[y[x]==2*a*x^3,y[x],x] DSolve[y[x]+y[x]==x,y[x],x]

62 Расширенные математические возможности Решение дифференциальных уравнений в численном виде Многие дифференциальные уравнения, например нелинейные, не имеют аналитических решений. Однако они с приемлемой точностью могут быть решены численными методами. Для численного решения систем дифференциальных уравнений используется функция NDSolve. NDSolve[eqns,y,{x,xmin,xmax}]- ищет численное решение дифферен- циальных уравнений eqns относитель- но функции y независимой перемен- ной х в интервале от xmin до xmax. NDSolve[{eqns,{y1,y2,...}, {x,xmin,xmax}] - решает систему дифференциальных уравнений; MaxSteps-опция, которая определяет максимальное количество шагов

63 Расширенные математические возможности Приведем пример решения системы из трех дифференциальных уравнений: Ввод (In) NDSolve[{x[t]==-3*(x[t]-y[t]), y[t]==-x[t]*z[t]+26.5*x[t]-y[t], z[t]==x[t]*y[t]-z[t],x[0]==z[0]==0,y[0]==1}, {x,y,z},{t,0,20},MaxSteps->4000]

64 Расширенные математические возможности Функции минимизации и максимизации В практике прикладных математических вычислений важная роль принадлежит оптимизационным задачам, например таким, как поиск минимальных и максимальных значений функции одной или ряда переменных. Система Mathematica дает разнообразные возможности по решению задач оптимизации – от поиска элементов списка с минимальным или максимальным значением до поиска локальных или даже глобальных минимумов функции, заданных аналитически. Для поиска максимального и минимального значений ряда чисел, входящих в список имеются следующие функции: Max[x1,x2,…]- возвращает наибольшее из xi; Max[{x1,x2,…},{y1,…},…]- возвращает наибольший элемент любого из списков; Min[x1,x2,…]- возвращает наименьшее из xi; Min[{x1,x2,…},{y1,…},…]- возвращает наименьший элемент любого из списков;

65 Расширенные математические возможности Приведенные ниже примеры показывают действие этих простых функций: Ввод (In)Вывод (Out) Max[1,5,2,6.5,3,4]6.5 Max[{1,3,2},{4,5,6},{9,8,7}]9 Min[1,5,2,6.5,-3,4]-3 Min[{1,3,2},{4,5,6},{9,8,7}]1

66 Расширенные математические возможности Для поиска локального минимума некоторой аналитической функции f(x) используется функция: FindMinimum[f,{x,x0}]- выполняет поиск локального минимума f начиная со значения x=x0 и возвращает его значение со значением х в точке минимума. Приведем примеры применения функции FindMinimum : Ввод (In)Вывод (Out) FindMinimum[-x*Exp[-2*x], {x,1}] { ,{x->0.5}} FindMinimum{-5*x*Exp[- x/2]*(2+Sin[3*x}),{x,4}] { ,{x->4.6179}}

67 Расширенные математические возможности Для поиска глобального максимума и минимума аналитически заданной функции ряда переменных служат следующие две функции: ConstrainedMax[f, {inequalities},{x,y,…}] - ищет глобальный максимум функции f в области, определяемой неравенствами inequalities. Полагается, что все переменные x,y,… не отрицательны. ConstrainedMin[f, {inequalities},{x,y,…}] - ищет глобальный минимум функции f в области, определяемой неравенствами inequalities. Все переменные x,y,… полагаются не отрицательными. Эти функции решают типовые задачи линейного программирования. В дополнение к ним может быть использована функция: LinearProgramming[c,m,b]- ищет вектор х, минимизирующий величину с.х в соответствии с условиями m.x>=b и x>=0.

68 Расширенные математические возможности К задачам на минимизацию относятся также задачи линейной и нелинейной регрессии. В них вычисляются параметры некоторой функции, при которых среднеквадратичная погрешность между результатами вычислений по этой функции и совокупностью исходных данных минимальна. В отличие от интерполяции при регрессии данная функция в узловых точках не дает точного значения ординат – она просто минимизирует в них погрешности вычислений. Для решения таких задач используется функция Fit. Fit[data,func,vars] Для списка данных data она ищет приближения методом наименьших квадратов в виде линейной комбинации функций funs переменных vars. Данные data могут иметь форму {{x1,y1,…,f1},{x2,y2,…,f2},…}, где число координат x,y,… равно числу переменных в списке vars. Они могут быть представлены также в форме {f1,f2,…} с одной координатой, принимающей значения 1,2,… Аргумент funs может быть любым списком функций, которые зависят только от объектов vars.

69 Расширенные математические возможности Следующие примеры показывают приближение исходных данных степенным полиномом и линейной комбинацией двух функций: Ввод (In)Вывод (Out) Fit[{{0,0.9},{2,8.1}, {3,17},{4,33}}, {a,x,x^2},x] x x 2 Fit[{{0,0.9},{2,8.1}, {3,17}},{x^2,Exp[x],x},x] 0.9E x x x 2

70 Расширенные математические возможности Символьные операции. Работа с выражениями. Одним из важнейших понятий системы является математическое выражение, или просто выражение - expr (от слова expression). Выражение может быть представлено в общепринятом виде (как математическая формула или ее часть) с помощью операторов, например: a*(x+y+z) или х^y; оно может задавать и некоторую функцию f[x,y,...]. Наряду с такой формой существует так называемая полная форма представления выражений, при которой основные арифметические операции задаются не операторами, а только соответствующими функциями. Фактически именно с выражениями, представленными в полной форме, оперирует символьное ядро системы. В системе предусматривается различная работа с выражениями (сложение, умножение, возведение в степень, создание списка и т.д.

71 Расширенные математические возможности Упрощение выражений Упрощение математических выражений - одна из самых важных задач символьной математики. Порою невероятно сложное математическое выражение (которое пугает с первого вида) является просто нулем или единицей либо сводится к простому выражению после ряда преобразований. Качество выполнения операции упрощения во многом определяется мощью ядра математической системы, поскольку зависит от числа функций и правил преобразования выражений, заложенных в ее символьное ядро. Для упрощения выражений используется функция Simplify: Simplify[expr]- исполняет последовательность алгебраических преобразований над выражением expr и возвращает простейшую из найденных форм. Ввод (In)Вывод (Out) Simplify[6*x*2]12x Simplify[x^3*y*x^5]x8yx8y

72 Расширенные математические возможности Функции раскрытия и расширения выражений Расширение или раскрытие выражений - еще одна типовая операция компьютерной алгебры. Часто компактная форма представления выражений обусловлена определенными операциями по их упрощению. Существует множество выражений, для которых эти правила известны. Например: Ввод (In)Вывод (Out) (a-b) 2 a 2 -2ab+b 2

73 Расширенные математические возможности Основные функции, возвращающие результаты с раскрытием и расширением выражений: ComplexExpand[expr]- раскрывает expr, полагая все переменные вещественными; ComplexExpand [expr,{x1,x2,...}] - раскрывает expr, полагая переменные соответствующими какому-либо действительному xi или комплексному; Expand[expr] - раскрывает произведения и положительные целые степени в expr; ExpandAll[expr] - раскрывает все произведения и целочисленные степени в любой части expr; ExpandDenominator[expr] - раскрывает произведение и степени, которые присутствуют в выражении expr в роли знаменателей; ExpandNumerator[expr] - раскрывает произведение и степени, которые присутствуют в выражении expr в роли числителей; PowerExpand[expr] - раскрывает вложенные степени, степени произведений, логарифмы от степеней и логарифмы от произведений.

74 Расширенные математические возможности Примеры: Ввод (In)Вывод (Out) Expand[(x-a)*(x-b)*(x-c)]-(abc)+abx+acx+bcx-ax 2 -bx 2 - cx2+x 3 ExpandNumerator[(1+x)^2/x]

75 Расширенные математические возможности К операциям, расширяющим выражения относятся также функции: Collect [expr,x]- выполняет приведение общих членов выражения по степеням переменной x; Collect [expr,{x1,x2,...}]- выполняет приведение общих членов выражения по степеням переменных x1,x2.... Примеры: Ввод (In)Вывод (Out) Collect[(x-1)*(x-2)* (x^2-9),x] x-7x 2 -3x 3 +x 4 Collect[(x-y)^3*x+ (y-x)*y,{x,y}] x 4 -3x 3 y+y 2 +3x 2 y 2 +x(-y-y 3 )

76 Расширенные математические возможности Функции для расширенных операций с выражениями Мы рассмотрели немногочисленную группу функций для работы с выражениями: их упрощения, расширения, выделения множителей и т.д. Эти функции способны решать большинство повседневных задач, связанных с аналитическими преобразованиями выражений. Однако система имеет гораздо более полный набор функций для работы с выражениями. Для расширенной работы с выражениями служат следующие функции: Apart[expr] - возвращает expr, записывая заново рациональное выражение как сумму членов с минимальным знаменателями; Cancel[expr]- возвращает expr, выполняя сокращение общих множителей числителя и знаменателя; Denominator[expr]- возвращает знаменатель выражения; Numerator[expr]- возвращает числитель выражения; Exponent[expr,form]- возвращает максимальную степень, с которой form присутствует в expr; Together[expr]- приводит члены суммы к общему знаменателю и сокращает множители в полученном результате.

77 Расширенные математические возможности Примеры: Ввод (In)Вывод (Out) Apart[(x^4+1)/(x^2-1)] Cancel[(x^2-1)/(x-1)]1+x Numerator[(x^2-x-1)/(x-1)-1-x+x 2 Denominator[(x^2-x-1)/(x-1)-1+x

78 Графические возможности пакета Mathematica Графика всегда была козырной картой системы. Графические возможности достигаются как обилием встроенных функций, так и средствами их модификации с помощью директив, опций и примитивов. Система позволяет строить практически любые виды математических графиков, причем обычного пользователя в большинстве случаев удовлетворяют графики, параметры которых система задает по умолчанию. Начнем рассмотрение графических возможностей системы с построения графиков функций одной переменной вида y = f(x) или просто f(x). График таких функций строится на плоскости, т.е. в двумерном пространстве. Он представляет собой геометрическое место точек (y,x) при изменении независимой переменной х (абциссы) в заданных пределах, например от минимального значения xmin до максимального значения xmax.

79 Графические возможности пакета Mathematica Для построения двумерных графиков функций вида f(x) используется встроенная в ядро функция Plot. Она задается в следующих формах: Plot[f,{x,xmin,xmax}]- строит график функции f аргумента х в интервале от xmin до xmax. Plot[{f1,f2,...},{x,xmin,xmax}]- строит графики ряда функций fi (i = 1,2,...). Формат построенных графиков задается специальными графическими опциями и директивами. С функцией Plot используются различные опции, меняющие те или иные параметры графиков и их вид (например, размер графика, наличие осей и т.д.) Опции внутри записей графических функций задаются своим именем name и значением value в виде: name-> value Значениями опций могут быть числа, списки, логические утверждения True, False и специальные слова, например: Automatic - используется автоматический выбор; None - опция не используется; All - используется в любом случае.

80 Поскольку графики являются объектами, то они могут быть значениями переменных. Поэтому Mathematica допускает следующие конструкции: Plot[Sin[x],{x,0,20}] - построение графика синусоиды; g:=Plot [Sin [x], {х, 0, 20} ] - задание объекта - графика синусоиды - с отложенным выводом; g=Plot [Sin [x], {х, 0, 20} ] - задание объекта - графика синусоиды - с немедленным выводом. Графические возможности пакета Mathematica

81 Опции функции Plot С функцией Plot используются различные опции, меняющие те или иные параметры графиков и их вид (например, размер графика, наличие осей и т.д.). Опции внутри записей графических функций задаются своим именем name и значением value в виде: name -> value Значениями опций могут быть числа, списки, логические утверждения True и False и специальные слова, например: Autonomic – используется автоматический выбор; None – опция не используется; All – используется в любом случае; True – используется; False – не используется.

82 Графические возможности пакета Mathematica Ниже представлены основные опции для графических функций (звездочкой отмечены те опции, которые можно использовать и в трехмерной графике): $ AspectRatio* - задает пропорцию размеров графика - отношение высоты к ширине; Axes* - устанавливает, должны ли рисоваться оси (по умолчанию Automatic); AxesLabel* - устанавливает, нужны ли отметки на осях графиков (по умолчанию None); AxesOrigin - указывает, где должно располагаться начало отсчета осей (по умолчанию Automatic); AxesStyle* - указывает в каком стиле должны строиться оси графика (по умолчанию Automatic); Background* - указывает какого цвета должен быть фон графика (по умолчанию – Autonomic); $DisplayFunction* - указывает канал и порядок вывода графического объекта (по умолчанию - $DisplayFunction); PlotRange - указывает какие точки включать в график (по умолчанию Automatic); PlotLabel* - указывает нужно ли вывести титульную надпись для графика (по умолчанию None); $ PlotStyle - устанавливает стиль отображения графика (по умолчанию Automatic); RotateLabel - указывает, следует ли метки на вертикальных осях развернуть так, чтобы они стали вертикальными; Frame - указывает, нужно ли рисовать рамку вокруг графика (по умолчанию False). Ticks* - устанавливает штриховые метки для осей (по умолчанию Automatic);

83 Графические возможности пакета Mathematica Опции могут серьезно изменить вид графика. Примеры использования опций графики: Установка масштаба 2D –графика по оси y Plot[Sin[x]/x,{x,-20,20},PlotRange->{-0.25,1}] Ввод надписей по осям 2D – графика Plot[Sin[x]^3,{x,0,20},AxesLabel->{x value,Graphic Sin(x)^3}] График с титульной надписью Plot[Sin[x]^3,{x,0,20},Axes->None,PlotLabel->Graphic for functions Sin(x)^3]

84 Графические возможности пакета Mathematica Если желательно выделение линий разными цветами, удобно использовать в качестве значения опции PlotStyle список вида {Hue [cl], Hue [с2],...}, где параметры c1, с2,... выбираются от 0 до 1 и задают цвет соответствующей кривой.

85 Графические возможности пакета Mathematica Директивы двумерной графики Еще одним мощным средством графики системы являются графические директивы. Они указывают, с какими графическими параметрами (цвет, толщина линий, их стиль и т.д.) должна строить графики та или иная функция. В системе используются следующие директивы двумерной графики: AbsoluteDashing[{d1,d2,...}] - указывает, что последующие линии должны рисоваться пунктиром со смежными (последовательными) сегментами, имеющими абсолютные длины d1,d2 и повторяющимися циклически (значения длины di задаются в пикселях; AbsolutePointSize[d] - устанавливает построение точек графика в виде кругов с абсолютным радиусом d (в пикселях); AbsoluteThickness[d] - устанавливает толщину d рисуемых линий; Dashing [{r1,r2,...}] - устанавливает вывод линий пунктиром с последовательными сегментами длиной r1, r2,... повторяющимися циклически; Thickness[r] - устанавливает толщину r для всех последующих линий r. Пример использования директив двумерной графики: Plot[Sin[x],{x,0,20},PlotStyle-> Dashing[{0.05,0.025 }]]

86 Графические возможности пакета Mathematica Графическая функция ListPlot Строить графики часто приходится по точкам. Для этого существует встроенная в ядро системы функция ListPlot. ListPlot[{y1,y2,...}]- выводит график списка величин y1,y2,...и т.д. ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},...}]- выводит график списка величин с указанными xi и yi координатами (i=1,2,...). Отметим опцию для данной функции: PlotJoineed – указывает, следует ли точки, нанесенные на график, соединять отрезками прямых (по умолчанию – True). Пример использования функции ListPlot: g = ListPlot[{1,2,3,1.5,0.5,0.2},PlotRange->{0,3}]

87 Получение информации о графических объектах Информацию об опциях графического объекта g дают следующие функции: FullAxes [g] возвращает список опций координатных осей; Options [g] - возвращает упрощенный список опций; FullOptions [g] - возвращает полный список опций; InputForm[g] - возвращает информацию о графике (включая таблицу точек). Пусть задан графический объект g: g:=Plot[Sin[x],{х,-10,10}] Ниже представлено получение упрощенного списка опций этого графического объекта: Options[g] {PlotRange -> Automatic, AspectRatio ->1/GoldenRatio, DisplayFunction :> $DisplayFunction, ColorOutput -> Automatic, Axes -> Automatic, AxesOrigin -> Automatic, PlotLabel -> None, AxesLabel -> None, Ticks -> Automatic, GridLines -> None, Prolog -> {}, Epilog -> {}, AxesStyle -> Automatic, Background -> Automatic, DefaultColor -> Automatic, DefaultFont :> $DefaultFont, RotateLabel -> True, Frame -> False, FrameStyle -> Automatic, FrameTicks -> Automatic!, FrameLabel -> None, PlotRegion -> Automatic, ImageSize -> Automatic, TextStyle :> $TextStyle, FormatType :> $FormatType} Графические возможности пакета Mathematica

88 Перестройка и комбинирование графиков При построении графиков приходится изменять их вид, а также те или иные параметры и опции. Для этого можно повторить вычисления, но тогда заметно снизится скорость работы с системой. Для ее повышения удобно использовать специальные функции перестройки и вывода графиков, учитывающих что узловые точки этих графиков уже были рассчитаны и их координаты хранятся в памяти ПК. В этом случае удобно использовать следующие функции: $ Show[plot]- построение графика по вычисленным данным; $ Show[plot,option-> value] - построение графика с заданной опцией; $ Show[plot1,plot2,...]- построение нескольких графиков с наложением их друг на друга. Примеры: Построение объединенного сдвоенного 2D-графика g1 = Plot[Sin[x],{x,0,20}]; g2 = Plot[Sin[x]^3,{x,0,20}]; Show[g1,g2,PlotRange->{-1.5,1.5}]

89 Графические возможности пакета Mathematica Примитивы двумерной графики Примитивами двумерной графики называют дополнительные указания, вводимые в функцию Graphics, для построения с ее помощью некоторых геометрических фигур. Сама функция Graphics задается в следующем виде: Graphics[primitives,options] Применение примитивов в составе функции Graphics избавляет пользователя от задания довольно сложных математических выражений, описывающих эти фигуры, и описания алгоритмов построения по ним графиков фигур. Примитивы могут дополнять и иные функции.

90 Графические возможности пакета Mathematica Circle[{x,y},r]- окружность радиуса r c радиусом {x,y}; Circle[{x,y},{rx,ry}]- эллипс с полуосями rx и ry с центром {x,y}; Circle[{x,y},r,{theta1,theta2}] - дугу окружности радиуса r с углами концевых точек theta1 и theta2 с центром {x,y}; Disk[{x,y},r]- закрашенный круг радиусом r с центром {x,y}; Disk[{x,y},{rx,ry}]- закрашенный полуовал с полуосями rx и ry с центром {x,y}; Disk [{x,y},r,{theta1,theta2}] - сегмент круга с углами концевых точек образующей окружности theta1 и theta2, радиусом r и с координатами центра {x,y}; Line[{{x1,y1},{x2,y2},...}]* линию в виде отрезков прямых, соединяющих точки с координатами {x1,y1},{x2,y2}, Point[{x,y}]*- точку с координатами {x,y}. Text[expr,coords]- выражение expr в текстовой форме с центром, имеющим координаты coords.

91 Графические возможности пакета Mathematica Примеры использования примитивов двумерной графики: Построение четырех графических объектов – линии, окружности, текста и жирной точки. g1 = Graphics[Line[{{-1,-1},{1,1}}]]; g2 = Graphics[Circle[{0,0},0.8}}; g3 = Graphics[Text[Привет!{0.25,0.5}]]; Show[g1,g2,g3,Graphics[{PointSize[0.032], Point[{-0.5,0.2}]],Axes->Autonomic]

92 Графические возможности пакета Mathematica Построение графиков параметрически заданных функций Функции, графики которых строятся на плоскости, могут быть заданы в параметрическом виде: x=fx(t) и y=fy(t), где независимая переменная t меняется от минимального значения tmin до максимального tmax с шагом dt. Особенно удобно применение таких функций для построения замкнутых линий, таких как окружности, эллипсы, циклоиды и др. Для построения параметрически заданных функций используются следующие графические функции системы: ParametricPlot [{fx,fy},{t,tmin,tmax}] - строит параметрический график с координатами fx и fy, получаемыми как функции от t; ParametricPlot[{fx,fy}, {gx,gy},{t,tmin,tmax}] - строит графики нескольких параметрических кривых.

93 Графические возможности пакета Mathematica Для изменения вида графиков используются директивы и опции, что позволяет реализовать большое разнообразие графиков. Пример построения графика, заданного параметрически: ParametricPlot[{Sin[2*t],Sin[3*t]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]

94 Графические возможности пакета Mathematica Построение графиков трехмерных поверхностей. Функция двух переменных z = f(x,y) в пространстве образует некоторую трехмерную поверхность или фигуру. Для их построения приходится использовать координатную систему с тремя осями координат: x, y, z. Для построения графиков трехмерных поверхностей используются следующие основные графические функции: ListPlot3D[array]- строит трехмерный график поверхности, представленной массивом значений высот array; Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}] - строит трехмерный график для аналитически заданной функции f переменных x,y, изменяющихся в заданных пределах;

95 Графические возможности пакета Mathematica Рис. Пример построения поверхности cos(xy) функцией Plot3D с опциями по умолчанию На рис. показан пример построения поверхности, описываемой функцией двух переменных cos(x у) при х и у, меняющихся от -3 до 3. Поверхность строится в виде каркаса с прямоугольными ячейками с использованием функциональной окраски. Все опции заданы по умолчанию.

96 Графические возможности пакета Mathematica Опции и директивы трехмерной графики Для модификации трехмерных графиков могут использоваться многочисленные опции и директивы.

97 Графические возможности пакета Mathematica Для построения трехмерных графиков в параметрической форме также имеются функции: ParametricPlot3D[fx,fy,fz}] - строит трехмерную поверхность, параметризованную по t и u в заданных пределах их изменения. ParametricPlot3D[fx,fy,fz}, {t,tmin,tmax}] - выполняет построение трехмерной кривой, параметризованной по переменной t, которая изменяется от tmin до tmax. и другие. Примеры построения трехмерных графиков: Исходная математическая поверхность g3=Plot3D[Cos[x*y],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints->40] Математическая поверхность с отсеченной верхней частью Show[g3,PlotRange->{0,0.5}]

98 Графические возможности пакета Mathematica Примитивы трехмерной графики Наряду с построением графиков поверхностей, заданных аналитическими выражениями, имеется возможность создания графиков различных объектов с помощью функции Graphics3D[primitives,options] - представляет трехмерное графическое изображение. Основные примитивы: Cuboid[{xmin,ymin,zmin}]- строит единичный куб с гранями, ориентированными параллельно осям}; Cuboid [{xmin,ymin,zmin}, {xmax,ymax,zmax},] - строит прямоугольный параллелепипед, заданный координатами противоположных вершин.

99 Графические возможности пакета Mathematica Примеры: Построение куба с точками pts=Table[Point[{Random[],Random[],Random[]}],{25}]; Show[Graphics3D[{PointSize[0.014],pts}]] Show[Graphics3D[pts],ViewPoint->{8,2,2}] Построение шести кубов в пространстве g=Graphics3D[{Cuboid[{0,0,0}],Cuboid[{2,2,2}], Cuboid[{0,1,2}], Cuboid[{1,1,3}],Cuboid[{3,2,1}], Cuboid[{2,1,1}],Cuboid[{3,3,3}]}]; Show[g]

100 Графические возможности пакета Mathematica Построение контурных графиков Контурные графики, или графики линий равных высот, используются для отображения поверхностей на плоскости. Они удобны для выявления всех экстремумов функций в пределах области графика. Такие графики являются линиями пересечения поверхности с секущими горизонтальными плоскостями, расположенными параллельно друг под другом. Они часто используются в картографии. Основными функциями и директивами для построения контурных графиков являются следующие: ContourPlot[f,{x, xmin, xmax}, {у, ymin, ymax}] порождает контурный график f как функции от х и у; ContourGraphics [array] представляет контурный график массива array; ListContourPlot[array] формирует контурный график из массива величин высот.

101 Графические возможности пакета Mathematica Для управления возможностями графической функции ContourPlot используются опции, полный список которых выводит команда Options [ContourGraphics ]. Помимо уже рассмотренных ранее опций используются следующие: ColorFunction задает окраску областей между линиями; Contours задает число контурных линий; ContourLines задает прорисовку явных (explicit) контурных линий; ContourShading задает затенение областей между контурными линиями; ContourSmoothing задает сглаживание контурных линий; ContourStyle задает стиль рисуемых линий для контурных графиков; MeshRange задает области изменения х- и y-координат.

102 Графические возможности пакета Mathematica

103 Построение графиков плотности Функцией двух переменных f(x, у) может описываться плотность некоторой среды. Для построения графиков плотности используются следующие графические функции: DensityGraphics [array] является представлением графика плотности; DensityPlot[f, {х, xmin, xmax}, {у, ymin, ymax}] строит график плотности f как функции от х и у; ListDensityPlot [array] формирует график плотности из массива величин высот.

104 Графические возможности пакета Mathematica

105 Лекция окончена Нажмите клавишу для выхода

106 Графические возможности пакета Mathematica Графика всегда была козырной картой системы. Графические возможности достигаются как обилием встроенных функций, так и средствами их модификации с помощью директив, опций и примитивов. Система позволяет строить практически любые виды математических графиков, причем обычного пользователя в большинстве случаев удовлетворяют графики, параметры которых система задает по умолчанию. Начнем рассмотрение графических возможностей системы с построения графиков функций одной переменной вида y = f(x) или просто f(x). График таких функций строится на плоскости, т.е. в двумерном пространстве. Он представляет собой геометрическое место точек (y,x) при изменении независимой переменной х (абциссы) в заданных пределах, например от минимального значения xmin до максимального значения xmax.

107 Графические возможности пакета Mathematica Для построения двумерных графиков функций вида f(x) используется встроенная в ядро функция Plot. Она задается в следующих формах: Plot[f,{x,xmin,xmax}]- строит график функции f аргумента х в интервале от xmin до xmax. Plot[{f1,f2,...},{x,xmin,xmax}]- строит графики ряда функций fi (i = 1,2,...). Формат построенных графиков задается специальными графическими опциями и директивами. С функцией Plot используются различные опции, меняющие те или иные параметры графиков и их вид (например, размер графика, наличие осей и т.д.) Опции внутри записей графических функций задаются своим именем name и значением value в виде: name-> value Значениями опций могут быть числа, списки, логические утверждения True, False и специальные слова, например: Automatic - используется автоматический выбор; None - опция не используется; All - используется в любом случае.

108 Графические возможности пакета Mathematica Опции функции Plot С функцией Plot используются различные опции, меняющие те или иные параметры графиков и их вид (например, размер графика, наличие осей и т.д.). Опции внутри записей графических функций задаются своим именем name и значением value в виде: name -> value Значениями опций могут быть числа, списки, логические утверждения True и False и специальные слова, например: Autonomic – используется автоматический выбор; None – опция не используется; All – используется в любом случае.

109 Графические возможности пакета Mathematica Ниже представлены основные опции для графических функций (звездочкой отмечены те опции, которые можно использовать и в трехмерной графике): $ AspectRatio* - задает пропорцию размеров графика - отношение высоты к ширине; Axes* - устанавливает, должны ли рисоваться оси (по умолчанию Automatic); AxesLabel* - устанавливает, нужны ли отметки на осях графиков (по умолчанию None); AxesOrigin - указывает, где должно располагаться начало отсчета осей (по умолчанию Automatic); AxesStyle* - указывает в каком стиле должны строиться оси графика (по умолчанию Automatic); Background* - указывает какого цвета должен быть фон графика (по умолчанию – Autonomic); $DisplayFunction* - указывает канал и порядок вывода графического объекта (по умолчанию - $DisplayFunction); PlotRange - указывает какие точки включать в график (по умолчанию Automatic); PlotLabel* - указывает нужно ли вывести титульную надпись для графика (по умолчанию None); $ PlotStyle - устанавливает стиль отображения графика (по умолчанию Automatic); RotateLabel - указывает, следует ли метки на вертикальных осях развернуть так, чтобы они стали вертикальными; Frame - указывает, нужно ли рисовать рамку вокруг графика (по умолчанию False). Ticks* - устанавливает штриховые метки для осей (по умолчанию Automatic);

110 Графические возможности пакета Mathematica Опции могут серьезно изменить вид графика. Примеры использования опций графики: Установка масштаба 2D –графика по оси y Plot[Sin[x]/x,{x,-20,20},PlotRange->{-0.25,1}] Ввод надписей по осям 2D – графика Plot[Sin[x]^3,{x,0,20},AxesLabel->{x value,Graphic Sin(x)^3}] График с титульной надписью Plot[Sin[x]^3,{x,0,20},Axes->None,PlotLabel->Graphic for functions Sin(x)^3]

111 Графические возможности пакета Mathematica Директивы двумерной графики Еще одним мощным средством графики системы являются графические директивы. Они указывают, с какими графическими параметрами (цвет, толщина линий, их стиль и т.д.) должна строить графики та или иная функция. В системе используются следующие директивы двумерной графики: AbsoluteDashing[{d1,d2,...}] - указывает, что последующие линии должны рисоваться пунктиром со смежными (последовательными) сегментами, имеющими абсолютные длины d1,d2 и повторяющимися циклически (значения длины di задаются в пикселях; AbsolutePointSize[d] - устанавливает построение точек графика в виде кругов с абсолютным радиусом d (в пикселях); AbsoluteThickness[d] - устанавливает толщину d рисуемых линий; Dashing [{r1,r2,...}] - устанавливает вывод линий пунктиром с последовательными сегментами длиной r1, r2,... повторяющимися циклически; Thickness[r] - устанавливает толщину r для всех последующих линий r. Пример использования директив двумерной графики: Plot[Sin[x],{x,0,20},PlotStyle-> Dashing[{0.05,0.025 }]]

112 Графические возможности пакета Mathematica Графическая функция ListPlot Строить графики часто приходится по точкам. Для этого существует встроенная в ядро системы функция ListPlot. ListPlot[{y1,y2,...}]- выводит график списка величин y1,y2,...и т.д. ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},...}]- выводит график списка величин с указанными xi и yi координатами (i=1,2,...). Отметим опцию для данной функции: PlotJoineed – указывает, следует ли точки, нанесенные на график, соединять отрезками прямых (по умолчанию – True). Пример использования функции ListPlot: g = ListPlot[{1,2,3,1.5,0.5,0.2},PlotRange->{0,3}]

113 Графические возможности пакета Mathematica Перестройка и комбинирование графиков При построении графиков приходится изменять их вид, а также те или иные параметры и опции. Для этого можно повторить вычисления, но тогда заметно снизится скорость работы с системой. Для ее повышения удобно использовать специальные функции перестройки и вывода графиков, учитывающих что узловые точки этих графиков уже были рассчитаны и их координаты хранятся в памяти ПК. В этом случае удобно использовать следующие функции: $ Show[plot]- построение графика по вычисленным данным; $ Show[plot,option-> value] - построение графика с заданной опцией; $ Show[plot1,plot2,...]- построение нескольких графиков с наложением их друг на друга. Примеры: Построение объединенного сдвоенного 2D-графика g1 = Plot[Sin[x],{x,0,20}]; g2 = Plot[Sin[x]^3,{x,0,20}]; Show[g1,g2,PlotRange->{-1.5,1.5}]

114 Графические возможности пакета Mathematica Примитивы двумерной графики Примитивами двумерной графики называют дополнительные указания, вводимые в функцию Graphics, для построения с ее помощью некоторых геометрических фигур. Сама функция Graphics задается в следующем виде: Graphics[primitives,options] Применение примитивов в составе функции Graphics избавляет пользователя от задания довольно сложных математических выражений, описывающих эти фигуры, и описания алгоритмов построения по ним графиков фигур. Примитивы могут дополнять и иные функции.

115 Графические возможности пакета Mathematica Circle[{x,y},r]- окружность радиуса r c радиусом {x,y}; Circle[{x,y},{rx,ry}]- эллипс с полуосями rx и ry с центром {x,y}; Circle[{x,y},r,{theta1,theta2}] - дугу окружности радиуса r с углами концевых точек theta1 и theta2 с центром {x,y}; Disk[{x,y},r]- закрашенный круг радиусом r с центром {x,y}; Disk[{x,y},{rx,ry}]- закрашенный полуовал с полуосями rx и ry с центром {x,y}; Disk [{x,y},r,{theta1,theta2}] - сегмент круга с углами концевых точек образующей окружности theta1 и theta2, радиусом r и с координатами центра {x,y}; Line[{{x1,y1},{x2,y2},...}]* линию в виде отрезков прямых, соединяющих точки с координатами {x1,y1},{x2,y2}, Point[{x,y}]*- точку с координатами {x,y}. Text[expr,coords]- выражение expr в текстовой форме с центром, имеющим координаты coords.

116 Графические возможности пакета Mathematica Примеры использования примитивов двумерной графики: Построение четырех графических объектов – линии, окружности, текста и жирной точки. g1 = Graphics[Line[{{-1,-1},{1,1}}]]; g2 = Graphics[Circle[{0,0},0.8}}; g3 = Graphics[Text[Hello!{0.25,0.5}]]; Show[g1,g2,g3,Graphics[{PointSize[0.032], Point[{-0.5,0.2},Axes->Autonomic]

117 Графические возможности пакета Mathematica Построение графиков параметрически заданных функций Функции, графики которых строятся на плоскости, могут быть заданы в параметрическом виде: x=fx(t) и y=fy(t), где независимая переменная t меняется от минимального значения tmin до максимального tmax с шагом dt. Особенно удобно применение таких функций для построения замкнутых линий, таких как окружности, эллипсы, циклоиды и др. Для построения параметрически заданных функций используются следующие графические функции системы: ParametricPlot [{fx,fy},{t,tmin,tmax}] - строит параметрический график с координатами fx и fy, получаемыми как функции от t; ParametricPlot[{fx,fy}, {gx,gy},{t,tmin,tmax}] - строит графики нескольких параметрических кривых.

118 Графические возможности пакета Mathematica Для изменения вида графиков используются директивы и опции, что позволяет реализовать большое разнообразие графиков. Пример построения графика, заданного параметрически: ParametricPlot[{Sin[2*t],Sin[3*t]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]

119 Графические возможности пакета Mathematica Построение графиков трехмерных поверхностей. Функция двух переменных z = f(x,y) в пространстве образует некоторую трехмерную поверхность или фигуру. Для их построения приходится использовать координатную систему с тремя осями координат: x, y, z. Для построения графиков трехмерных поверхностей используются следующие основные графические функции: ListPlot3D[array]- строит трехмерный график поверхности, представленной массивом значений высот array; Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}] - строит трехмерный график для аналитически заданной функции f переменных x,y, изменяющихся в заданных пределах;

120 Графические возможности пакета Mathematica Для построения трехмерных графиков в параметрической форме также имеются функции: ParametricPlot3D[fx,fy,fz}] - строит трехмерную поверхность, параметризованную по t и u в заданных пределах их изменения. ParametricPlot3D[fx,fy,fz}, {t,tmin,tmax}] - выполняет построение трехмер-ной кривой, параметризованной по переменной t, которая изменяется от tmin до tmax. и другие. Примеры построения трехмерных графиков: Исходная математическая поверхность g3=plot3D[Cos[x*y],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints->40] Математическая поверхность с отсеченной верхней частью Show[g3,PlotRange->{0,0.5}]

121 Графические возможности пакета Mathematica Примитивы трехмерной графики Наряду с построением графиков поверхностей, заданных аналитическими выражениями, имеется возможность создания графиков различных объектов с помощью функции Graphics3D[primitives,options] - представляет трехмерное графическое изображение. Основные примитивы: Cuboid[{xmin,ymin,zmin}]- строит единичный куб с гранями, ориентированными параллельно осям}; Cuboid [{xmin,ymin,zmin}, {xmax,ymax,zmax},] - строит прямоугольный параллелепипед, заданный координатами противоположных вершин.

122 Графические возможности пакета Mathematica Примеры: Построение куба с точками pts=Table[Point[{Random[],Random[],Random[]}],{25}]; Show[Graphics3D[{PointSize[0.014],pts}]] Show[Graphics3D[pts],ViewPoint->{8,2,2}] Построение шести кубов в пространстве g=Graphics3D[{Cuboid[{0,0,0}],Cuboid[{2,2,2}], Cuboid[{1,1,3}],Cuboid[{3,2,1}], Cuboid[{2,1,1}],Cuboid[{3,3,3}]}]; Show[g]

123 Лекция окончена Нажмите клавишу для выхода