Подготовка к ЕГЭ, ГИА- 2014 года Боклаг Валентина Николаевна учитель математики МОБУ СОШ 10 имени атамана С.И. Белого ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. - презентация

1 Подготовка к ЕГЭ, ГИА года Боклаг Валентина Николаевна учитель математики МОБУ СОШ 10 имени атамана С.И. Белого ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2 СОДЕРЖАНИЕ Элементы комбинаторики Элементы теории вероятностей

3 1. Непосредственные подсчеты Элементы комбинаторики 3. Правило сложения 4. Перестановки 5. Размещения 2. Правило умножения 6. Сочетания

4 Комбинаторика - это раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества элементов ( безразлично, какой природы ; это могут быть буквы, цифры, какие - либо предметы и т. п.)

5 Непосредственные подсчеты Логический перебор. Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают: а) дважды; б) трижды. Определите все возможные комбинации выпадения орла и решки. Решение. О - выпадение орла Р – выпадение решки а) Записываем на первом месте букву О: ОО, ОР. Теперь на первом месте записываем букву Р: РО, РР. Получили 4 комбинации: ОО, ОР, РО, РР.

6 б ) на первом месте буква О: ООО,ООР, ОРО, ОРР ( достаточно к каждой комбинации полученной в предыдущей задаче добавить букву О) на первом месте буква Р: РОО, РОР, РРО, РРР ( достаточно к каждой комбинации полученной в предыдущей задаче добавить букву Р). Ответ: 8 комбинаций.

7 Таблица вариантов. Пример 2. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1, 2,3,8,9? Решение. е д и н и ц ы д е с я т к и Ответ: · 3 = 15 5-строки 3-столбцы

8 Граф-фигура состоящая из точек(вершин) и соединяющих их отрезков( ребра). Полный граф. Пример 3. Максим, Павел, Сергей и Дмитрий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно? М - Максим, П - Павел, С - Сергей, Д - Дмитрий. Отрезки-ребра обозначают шахматные партии. 6 ребер - 6 партий. Ответ: 6 П М С Д П

9 Граф - дерево. Пример 4.Антон, Борис и Василий купили 3 билета на футбольный матч на 1,2,3-е места первого ряда. Сколькими способами они могут занять имеющиеся три места?

10 Тренировочные задачи. 1.Петя, Саша, Андрей и Глеб после возвращения с соревнований подарили на память друг другу значки. Причем каждый мальчик подарил каждому по одному значку. Сколько всего значков было подарено?( 12) 2. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 0,1,2, если цифры в числе могут повторяться ? (18) 3. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 5,6,7,8, используя в записи числа каждую из них не более одного раза? (24)

11 Правило умножения Если первое действие в эксперименте можно выполнить а способами, после чего второе действие – b способами, после чего третье – с способами и т.д., то общее число исходов всего эксперимента будет n= a · b · c ·….

12 Если элемент множества А может быть выбран m способами, а элемент множества В - n способами, то упорядоченная пара ( А, В ) может быть составлена m · n способами.

13 Пример 5. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если : а) числа не повторяются; б) числа могут повторяться. Решение. а)Первую цифру выбираем 5 способами, вторую цифру – 4 способами, третью – 3 способами. Всего 5 ·4·3=60 трехзначных чисел. б)Первую цифру выбираем 5 способами, вторую цифру – 5 способами, третью –5 способами. Всего 5 ·5·5=125 трехзначных чисел. Ответ: а) 60; б) 125.

14 Тренировочные задачи. 1. В меню школьной столовой указано 5 салатов, 3 первых блюда, 4 вторых и 3 десерта. Каким числом способов можно заказать обед из четырех блюд? (180 ) 2. Четыре девочки и четыре мальчика садятся на 8 расположенных подряд стульев, причем мальчики садятся на места с четными номерами, а девочки - на места с нечетными номерами. Сколькими способами это можно сделать? (576 (4 ·3·2·1 ) · (4 ·3·2·1 ) = В розыгрыше первенства по волейболу принимают участие 15 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали, если любая команда может получить только одну медаль? ( 15 ·14·13=2730)

15 Правило сложения Если элемент множества А можно выбрать m способами, а элемент множества В можно выбрать n способами, и множества А и В не имеют общих элементов, то выбор одного из элементов множеств А или В осуществляется m+n способами.

16 Пример 6. На тарелке лежит 5 яблок и 7 слив. Сколькими способами можно взять плод с тарелки? Всего способов. 5+7=12 Ответ: 12 Решение.

17 Тренировочные задачи. 3. Алфавит состоит из пяти букв. Сколько можно составить слов, имеющих не более трех букв, из букв этого алфавита?( 5+5²+5³=155) 4. Из города А в город В ведет 5 дорог, из города А в город С ведет 4 дороги; из В в D -3 дороги; из С в D - 6 дорог. В и С маршрутами не соединены. Сколько маршрутов можно провести между городами А и D?

18 Перестановки. Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Где n!=1 ·2·3·…·(n-1)n, 1!=1; 0!=1.

19 Пример 6. Сколькими способами можно обозначить вершины куба буквами А, В, С, D, E, F, G, K? Решение. 8 – вершин у куба Ответ:40320

20 Тренировочные задачи. 6. Сколькими способами можно разместить на полке 4 книги? (4!=24) 7. Сколько всего шестизначных четных чисел можно составить из цифр 1,2,3,5,7 и 9, если в каждом из этих чисел ни одна цифра не повторяется?( 2- последняя цифра, тогда 5!=120 чисел) 8. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга? ( 8!= 40320)

21 Размещения. Размещениями называют комбинации, составленные из п различных элементов по т элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Если m=n, то

22 Пример 6. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета взятых по 2? Решение. Ответ:30 сигналов

23 Тренировочные задачи. 9. Сколько всего семизначных телефонных номеров, в каждом из которых ни одна цифра не повторяется? 10. Учащиеся 3 класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 разных предмета? 11. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?

24 Сочетания. Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов которые отличаются только составом элементов.

25 Пример 7 Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из пяти имеющихся? Решение. Ответ:10 способов.

26 КДР. МАТЕМАТИКА, 10 класс Январь 2014 Вариант 1 Из 8 учеников, жеребьевкой выбирают группу болельщиков, состоящую из 4 человек (разыгрывают 4 билета на керлинг). Сколько всего существует различных вариантов состава такой группы болельщиков? Ответ : 70

27 КДР. МАТЕМАТИКА, 10 класс Январь 2014 Вариант 2 На окружности выбрано 12 точек. Сколько существует хорд с концами в этих точках? Ответ : 66

28 Число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

29 Тренировочные задачи. 12. В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 16 команд, при этом любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего игр? 13. В выпуклом семиугольнике проведены всевозможные диагонали, при этом никакие три из них не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения указанных диагоналей?

30 Элементы теории вероятностей. Случайные опыты и события. Элементарные события. Частота события Формула классической вероятности Комбинаторные методы решения вероятностных задач. Геометрическая вероятность. Операции над событиями. Несовместные события. Формула сложения вероятностей. Совместные события. Формула сложения вероятностей. Независимые события. Формула умножения вероятностей. Зависимые события. Формула умножения вероятностей. Сложение и умножение вероятностей. Повторение испытаний. Формула Бернулли.

31 Теория вероятностей- раздел математики, изучающий вероятности событий. Теория вероятностей разрабатывает методы, с помощью которых можно вычислить вероятности одних событий, зная вероятности других. Теория вероятностей изучает также случайные величины и их распределения.

32 Случайные опыты и события. Случайное событие-событие, которое может наступить в ходе некоторого опыта, а может не наступить(нельзя предсказать выпадение грани игральной кости). Случайный опыт - условия и действия, при которых может осуществиться случайное событие(в опыте «бросании игральной кости» возможно случайное событие «выпало три очка»).

33 Элементарные события. Элементарные события-события, которые нельзя разбить на более простые. Пример. Событие « выпало нечетное число очков» при бросании игральной кости состоит из трех элементарных событий: выпало «одно очко», выпало «три очка», выпало « пять очков». Элементарные события, при которых наступает событие А, называют элементарными событиями, благоприятствующими (благоприятными) событию А. Пример. Событие « сумма очков на обеих костях равна 10» при двойном бросании игральной кости благоприятствуют только три элементарные события (4;6),(6;4),(5;5) Элементарные события, шансы наступления которых одинаковы, называют равновозможными событиями. Пример. Опыт « бросание игральной кости».Равновозможны шесть элементарных событий.

34 Прототип задания B6 ( ) Элементы содержания: 6.1 Умения: 5.4 Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?

35 Частота события. Пусть при проведении n случайных опытов событие А наступило k раз. Частотой события А называют отношение. Пример 8. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Найдите частоту рождения мальчиков? Решение. Событие А- «рождение мальчика». n=1000, k=515 Ответ:0,515

36 Тренировочные задачи. 14. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальный всход. Найдите частоту нормального всхода семян?(0,98) 15. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.(0,523)

37 Формула классической вероятности. Вероятностью Р события А называют отношение числа m исходов, благоприятных этому событию, к общему числу n исходов

38 Прототип задания B6 ( ) Прототип задания B6 ( ) В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Швеции. (0,2) Элементы содержания : Умения : 5.4

39 Прототип задания B6 ( ) Элементы содержания: Умения: Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?(0,36) 26-1=25 участники соревнований без Руслана Орлова 10-1=9 участники из России без Орлова 9:25=0,36

40 Сумма вероятностей всех элементарных событий случайного эксперимента равна 1.

41 Прототип задания B6 ( ) Элементы содержания: Умения: 5.4 Решение. Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,93.

42 Пример 8. Из колоды в 36 карт одну за другой вытягивают две карты, не возвращая карту обратно. Какова вероятность того, что они одного цвета? Ответ округлите до тысячных. Решение. А- « обе карты одного цвета» n=3635 ( 36 вариантов – для первой карты, 35-для второй карты) общее количество исходов m=3617( 36 вариантов- для первой карты, 17 вариантов- для второй карты) благоприятствующие исход ы

43

44 Комбинаторные методы решения вероятностных задач. Умение находить число перестановок, размещений, сочетаний по формулам позволяет решать задачи на вычисление вероятности.

45 Тренировочные задачи В группе туристов 6 человек. С помощью жребия они выбирают трех человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист К. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что К. пойдет в магазин.(0,4) В классе 26 человек, среди них два близнеца- Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе. ( 0,48)

46 Геометрическая вероятность. Если число исходов некоторого опыта бесконечно, то классическое определение вероятности не может служить характеристикой степени возможности наступления того или иного события. В этом случае пользуются геометрическим подходом к определению вероятности. При этом вероятность события А есть отношение меры А ( длины, площади, объема и т.д.) к мере U пространства элементарных событий.

47 Пример 9. В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника. Решение: искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга: Ответ:0,4137.

48

49 Тренировочные задачи Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 9, но не дойдя до отметки 3 часа.(0,5)

50 Операции над событиями. Суммой ( объединением) событий А и В называют событие( обозначение А+В или А В), состоящее в появлении либо только события А, либо только события В, либо события А и события В одновременно. Пример 14. Если событие А- попадание в цель при первом выстреле. Событие В- попадание в цель при втором выстреле. То событие С= А+В есть попадание в цель вообще ( или только при первом выстреле, или только при втором выстреле, или при 1-м и при 2-м выстрелах).

51 Выпадение герба или выпадение решки при одном бросании монеты, попадание и промах при одном выстреле- события противоположные. Событием, противоположным событию А, называют событие (обозначение ), которому благоприятствуют все элементарные события, не благоприятствующие событию А.

52 Произведением ( пересечением) двух событий А и В называют событие( обозначение АВ или А В), состоящее в совместном выполнении события А и события В. Пример 15. Если событие А- попадание в цель при первом выстреле. Событие В- попадание в цель при втором выстреле. То событие С= АВ есть попадание в цель при обоих выстрелах ( и при первом выстреле и при втором выстрелах).

53 Несовместные события. Формула сложения вероятностей. Теоремы, при помощи которых по вероятностям одних случайных событий вычисляют вероятности других случайных событий. События называют несовместными, если они не могут происходить одновременно в одном и том же испытании.

54 Пример. Выигрыш, ничейный исход и проигрыш одного игрока в одной партии в шахматы - три несовместных события

55 Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В ( появление хотя бы одного события) равна сумме вероятностей этих событий: Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна 1: Р(А)+Р( )

56 Зачет по стрельбе курсант сдаст, если получит оценку не ниже 4. Какова вероятность сдачи зачета, если известно, что курсант получает за стрельбу оценку 5 с вероятностью 0,3 и оценку 4 с вероятностью 0,6? Решение Данный опыт состоит в том, что проведены стрельбы и по ним курсант получил оценку. В этом опыте обозначим через А событие«по стрельбе курсант получил оценку 5» и через В событие «по стрельбе курсант получил оценку 4». Эти события несовместны. Событие С«зачет сдан» является их суммой С=А+В. Из условия задачи следует, что вероятности Р(А)=0,3 и Р(В)=0,6. Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)= 0,3+0,6=0,9 Ответ:0,9 Пример 10.

57 Пример 11. Наудачу берется трехзначное число. Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают? Решение. Числа от 100 до 999. n=900 Событие А « у выбранного числа совпадают хотя бы две цифры» Событие « у выбранного числа все цифры различны». Благоприятные события m=998. и Ответ: 0,28

58 Тренировочные задачи На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух (0,35) Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.(0,07) Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 16 пассажиров, равна 0,96. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,55. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 15.

59 Совместные события. Формула сложения вероятностей. События называются совместными, если они могут происходить одновременно. При бросании двух монет выпадение решки на одной не исключает появление решки на другой монете.

60 Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий А и В(появление хотя бы одного события) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

61 B В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение. Рассмотрим события А = кофе закончится в первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате. Тогда A·B = кофе закончится в обоих автоматах, A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате. По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12. События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) P(A·B) = 0,3 + 0,3 0,12 = 0,48. Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52.

62 Приведем другое решение Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 х, откуда искомая вероятость х = 0,52. Примечание. Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, однако по условию эта вероятность равна 0,12.

63

64 Независимые события. Формула умножения вероятностей. Рассмотрим как влияет на возможность осуществления некоторого события В наступление некоторого другого события А. Два случайных события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события называются зависимыми.

65 Теорема. Вероятность произведения(совместного появления) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ)=Р(А)Р(В) Теорема обобщается на любое число попарно независимых событий.

66 Следствие. Вероятность появления хотя бы одного события из n попарно независимых событий равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным, т.е.

67 B Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156. Ответ: 0,156.

68 B Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение. Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 0,8 = 0,2. События попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна 0,8 0,8 0,80,20,2=0, ,02 Ответ: 0,02.

69 B По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар. Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02. Ответ: 0,02. Аналогичные задания:

70

71

72 Задача 1. Павел Иванович совершает прогулку из точки A по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G.

73 Решение. Схема дорожек представляет собой граф, а именно дерево. Рёбра (ветви) дерева соответствуют дорожкам. Около каждого ребра напишем вероятность того, что Павел Иванович пройдет по соответствующей дорожке. Выбор пути на каждой развилке происходит наудачу, поэтому вероятность поровну делится между всеми возможностями. Предположим, что Павел Иванович пришел в вершину C. Из неё выходит три ребра CH, CK и CL. Следовательно, вероятность того, что Павел Иванович выберет ребро CH, равна. Аналогично можно расставить все вероятности

74

75 Каждый маршрут из начальной точки A в любую из конечных точек является элементарным событием в этом эксперименте. События здесь не равновозможные. Вероятность каждого элементарного события можно найти по правилу умножения. Нам нужно найти вероятность элементарного события G= {Павел Иванович пришел в точку G}. Это событие состоит в том, что Павел Иванович прошел маршрутом ABG. Вероятность находится умножением вероятностей вдоль ребер AB и BG: P(G)=P(ABG)= Ответ: 0,125.

76 Сложение и умножение вероятностей. Рассмотрим задачи, в которых используют обе теоремы : сложения вероятностей и умножения вероятностей.

77

78

79 Прототип задания B6 ( ) В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.(0,392)

80 Повторение испытаний. Формула Бернулли. В одном опыте нас интересует один вопрос, произойдет или не произойдет некоторое событие. В серии опытов ( испытаний ) важен вопрос, сколько раз произойдет или не произойдет данное событие. Например, игральный кубик бросили 10 раз подряд. Какова вероятность того, что «пятерка» выпадет ровно три раза?

81 Формула Бернулли Рассматриваются независимые повторения одного и того же испытания с двумя возможными исходами, которые условно называют «успех» и «неудача». Вероятность того, что при n таких повторениях произойдет ровно k «успехов».Где вероятность появления события А в одном опыте равна p, а вероятность его непоявления равна q=1-p.

82

83 Какова вероятность того, что при 10 бросаниях игрального кубика «пятерка» выпадет ровно три раза?

84 Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В10. Элементы теории вероятностей Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Задания В10 Элементы теории вероятностей htm l htm l