Как узнать, делится ли одно число на другое, не прибегая к традиционному делению «уголком» и помощи калькулятора? - презентация

1 Как узнать, делится ли одно число на другое, не прибегая к традиционному делению «уголком» и помощи калькулятора?

2 Тема: «Признаки делимости» «Признаки делимости» Выполнила Громова Ксения, 10 класс, МБОУ СОШ 1,х. Маяк г.

3 Цель работы: «Найти, изучить и систематизировать признаки делимости».

4 Задачи: 1. Собрать научную математическую литературу, содержащую материал на тему: «Признаки делимости». 2.Изучить, систематизировать информацию о признаках делимости. 3. Исследовать возможности использования правил при решении практических задач. 4. Создать справочник: «Школьникам о признаках делимости».

5 Гипотеза Чтобы избежать нудных делений уголком, полезно знать признаки делимости

6 признак делимости Признак делимости алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу.

7 Признаки делимости на 2,5,10,3,9,4, 25 Число делится На: Если:Пример 2 оно оканчивается чётной цифрой: 0, 2, 4, 6, оканчивается чётной цифрой 6; оно делится на 2. 5 оно оканчивается цифрой 0 или оканчивается цифрой 5; оно делится на оно оканчивается цифрой оканчивается цифрой 0; оно делится на сумма цифр этого числа делится на делится на 3, т.к. сумма цифр 2+8+5= 15, делится на 3. 9 сумма цифр этого числа делится на делится на 9, т.к. сумма цифр = 9, делится на 9. 4 две последние цифры этого числа образуют число, делящееся на ; две последние цифры составляют число 64, оно делится на 4; число 3164 делится на оно оканчивается на 00, 25, 50 или оканчивается на 25; оно делится на 25.

8 Признак делимости на 8: Число n делится на 8, если на 8 делится трёхзначное число, образованное из трёх последних цифр числа n. Пример. Число на 8 не делится, т.к. трёхзначное число 998, образованное из трёх последних цифр числа, на 8 не делится.

9 Теорема Паскаля Натуральное число n разделится на другое натуральное число m только в том случае, если сумма произведений цифр числа n на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число m, делится на это число. Пример: число 2814 делится на 7, так как =35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

10 Блез Паскаль (1623–1662) французский религиозный мыслитель, математик и физик внёс большой вклад в изучение признаков делимости чисел.

11 Признак делимости на 13 Число n делится на 13 в том и только в том случае, когда на 13 делится число, полученное из него зачёркиванием последней цифры и прибавлением к полученному числу учетверённого значения зачёркнутой цифры. Например, число n = 52 делится на 13, так как число = 13 делится на 13. Доказательство: Представим число в виде: n= 10a + b = 10( а + 4b )-39b. Отсюда следует, что числа n и исходное на 13 делятся или не делятся одновременно зависит от суммы а + 4b, а это и есть число, полученное n зачёркиванием последней цифры и прибавлением к полученному числу учетверённого значения зачёркнутой цифры. Применим правило для числа 2002: 2002 (20+24)= 208 (20+84) =52 (5+24) =13. Значит, число 2002 делится на 13.

12 На: Правило Пример 7 число делится на 7 в том и только в том случае, если на 7 делится число р = n 0 + 3n 1 + 2n 2 - (n 3 + Зn 4 + 2n 5 ) + …. n 0 n 1 n цифры единиц, десятков, сотен... числа n не делится на 7, поскольку на 7 не делится число р=9+З· = число делится на 11 в том и только в том случае, если сумма его цифр, стоящих на нечётных местах, отличается от суммы цифр, стоящих на чётных местах, на величину, кратную делится на 11, потому что (9+9)- (1+6)=18-7=11, делится на Число делится на 13 в том и только в том случае, когда на 13 делится число, полученное из него зачёркиванием последней цифры и прибавлением к полученному числу учетверённого значения зачёркнутой цифры. число n=676 делится на 13,так как число =91, 9+14 =13 19 число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19. Число 608 делится на 19, так как число =76, 7+26 =19. Признаки делимости 7, 11, 13, 19.

13 Признаки делимости на 23, 99, 59,101. На Правило Пример 23 число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно делится на 23, так как (3 42) = 414, продолжаем 4 + (3 14) = 46, очевидно делится на число делится на 99 тогда и только тогда, когда сумма групп чисел делится на 99 (в каждой группе по два числа, деление на группы начинается справа налево) 1584 делится на 99, так как 15+84=99, очевидно делится на число делится на 59 тогда и только тогда, когда на него делится число, полученное путём зачёркивания последней цифры и прибавлением к оставшемуся числу ушестерённой вычеркнутой цифры делится на 59, так как = 72865, = 7316, = 767, = 118, = Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Пример, делится на 101, так как =101 делится на 101..

14 п/ п Признак делимости на:Количество голосов в % и , Остальные признаки 0 КАК ЗАПОМНИТЬ?

15 «напоминалка» п\п Схожие действия К каким числам применить 1. Группа цифр на конце числа…4, 8,2 n,5 n 2. Сумма цифр… Сумма числа десятков и единиц, увеличенных в несколько раз… 19,29,79,23 4. Зачёркивание последней цифры…13,59 5. Разность или модуль разности …11,31,41 6. Цифры числа разбиваются на группы… 99, 101

16 Задача Предположим, вы купили в магазине 3 ластика, 6 карандашей и 9 одинаковых тетрадей, а продавец говорит: «С вас за покупку десять рублей». Как сразу обнаружить ошибку продавца?

17 Олимпиадная задача Доказать, что n 3 +3n 2 +5n+3 делится на 3 при любом натуральном n. Решение: представим многочлен в виде суммы двух слагаемых: n 3 +3n 2 +5n+3=n 3 +3n 2 +2n+3n+3=n(n 2 +3n+2)+3(n+1)=n(n +1)(n+2)++3(n+1), первое слагаемое есть произведение трех последовательных натуральных чисел, одно из которых обязательно делится на 3, а второе слагаемое содержит множитель 3, => оно делится на 3, а значит и вся сумма делится на 3.

18 Результаты работы 1. Я создала справочник: «Школьникам о признаках делимости». 2. Составила «Напоминалку» для облегчения запоминания многочисленных признаков. 3. Мой кругозор о числах расширился. 4 Мои вычислительные навыки повысились. 5.«Признаки делимости можно использовать на занятиях кружка, для решения олимпиадных заданий.

19 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ