Симметрия. Виды симметрии. Существует старинная притча о буридановом осле. У одного философа, по имени Буридан, был осел. Однажды, уезжая надолго, философ. - презентация

1 Симметрия. Виды симметрии. Существует старинная притча о буридановом осле. У одного философа, по имени Буридан, был осел. Однажды, уезжая надолго, философ положил перед ослом две совершенно одинаковые охапки сена – одну слева, а другую справа. Осел не смог решить, с какой охапки ему начать, и умер с голоду. Притча об осле – это, разумеется, шутка. Однако взгляните на изображение уравновешенных весов. Разве находящиеся в равновесии чаши весов не напоминают чем-то притчу о буридановом осле? Действительно, в обоих случаях левое и правое настолько одинаковы, что нельзя отдать предпочтение ни тому, ни другому. Иными словами, в обоих случаях мы имеем дело с симметрией, проявляющейся в полном равноправии, полной уравновешенности левого и правого.

2 Что такое симметрия? Какие точки называются симметричными? Симметрия – это соразмерность, одинаковость в расположении частей чего- нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости. Две точки называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

3 Виды симметрии. Осевая (зеркальная) симметрия. Центральная симметрия. Поворотная симметрия. Зеркально-поворотная симметрия. Переносная (трансляционная) симметрия.Переносная (трансляционная) симметрия. Скользящая плоскость(ось) симметрии.Скользящая плоскость(ось) симметрии.

4 Осевая (зеркальная) симметрия. Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией. На рисунке показан простой пример объекта и его зазеркального двойника – треугольник ABC и треугольник А1В1С1 (здесь MN – пересечение плоскости зеркала с плоскостью рисунка). Каждой точке объекта соответствует определённая точка зазеркального двойника. Эти точки находятся на одном перпендикуляре к прямой MN, по разные стороны и на одинаковом расстоянии от неё. Объект на рисунке выбран для простоты двухмерным. В общем случае объект (и соответственно его зазеркальный двойник) является трёхмерным.

5 Все знают, что увидеть зазеркальный двойник объекта совсем нетрудно. Достаточно поместить освещённый объект перед плоским зеркалом и заглянуть в это зеркало. Обычно считают, что наблюдаемый в зеркале двойник является точной копией самого объекта. В действительности же это не совсем так. Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами (переставляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. В сравнении с самим объектом его зазеркальный двойник оказывается «вывернутым» вдоль направления, перпендикулярного к плоскости зеркала. Зазеркальный двойник не является точной копией объекта. Ведь объект и его двойник различаются только своей ориентации: они развёрнуты навстречу друг другу. Чтобы получить зазеркальный двойник, не прибегая к отражению в зеркале, надо изменить вращение конуса на противоположное. Впрочем, можно обойтись и без вращения конуса. Достаточно из конуса винт. Винт- объект и винт-двойник имеют разные направления нарезки: чтобы ввинтить в дерево винт-объект, надо вращать его головку по часовой стрелке, а чтобы ввинтить винт-двойник, - против часовой стрелки. Первый винт называют правым винтом, а второй – левым. Мы привыкли пользоваться правыми винтами. Зазеркальный двойники правых винтов, то есть левые винты, у нас практически не применяются.

6 Энантиоморфы – это пара зеркально асимметричных объектов (фигур), являющихся зеркальным изображением один другого. Иными словами, энантиоморфы – это объект и его зазеркальный двойник при условии, что сам объект зеркально асимметричен. Энантиоморфами могут быть отдельные объекты, но могут быть и половинки соответствующим образом разрезанного объекта. Чтобы различить энантиоморфы в данной паре, вводят обозначения «левый» и «правый». Один из энантиоморфов левый, а другой правый. Не имеет принципиального значения, какой именно назван левым (правым); это вопрос договоренности, традиции, привычки. Энантиоморфы.

7 Примеры осевой симметрии. У неразвёрнутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии. А равносторонний треугольник - три основные симметрии Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси симметрии, а квадрат - четыре оси симметрии.

8 У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии. Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

9 Центральная симметрия. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

10 Примеры центральной симметрии. Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии(точка О на рисунке) у прямой их бесконечно много - любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

11 Поворотная симметрия. Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360 /n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … В этом случае о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка. Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И» и «Ф». Что касается буквы «И», то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И» на 180 вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф». На рисунке даны примеры простых объектов с поворотными осями разного порядка – от 2-го до 5-го.

12 У трехмерного объекта может быть несколько поворотных осей. Например, первый объект на рисунке имеет не одну, а три поворотные оси 2-го порядка, второй объект имеет наряду с поворотной осью 3-го порядка три поворотные оси 2-го порядка, третий объект имеет наряду с поворотной осью 4-го порядка четыре поворотные оси 2-го порядка (дополнительные поворотные оси показаны на рисунке штриховыми прямыми). Интересна поворотная симметрия кругового цилиндра. Он имеет бесконечное число поворотных осей 2-го порядка и одну поворотную ось бесконечно высокого порядка. Для описания симметрии конкретного объекта надо указать все поворотные оси и их порядок, а также все плоскости симметрии. Рассмотрим, например, геометрическое тело, составленное из двух одинаковых правильных четырехугольных пирамид. Оно имеет одну поворотную ось 4-го порядка (ось АВ), четыре поворотные оси 2-го порядка (оси СЕ, DF, MP, NQ), пять плоскостей симметрии (плоскости CDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

13 Зеркально-поворотная симметрия. Доказать, что существует такой вид симметрии, мы предлагаем вам самим. Вырежьте из плотной бумаги квадрат и впишите внутрь его косо другой квадрат (рис.1). Затем отогните углы бумаги по линиям, ограничивающим внутренний квадрат (соседние углы отгибаются в противоположные стороны). В результате получите объект, показанный на рисунке (рис.2). Он имеет поворотную ось 2-го порядка (ось АВ) и не имеет плоскостей симметрии. Будем рассматривать изделия сначала сверху, а затем снизу (с противоположной стороны листа бумаги). Мы обнаружим, что никакого различия между «верхом» и «низом» нет; в обоих случаях объект выглядит одинаково. В связи с этим возникает мысль, что поворотная симметрия 2-го порядка не исчерпывает всей симметрии данного объекта. Дополнительная симметрия, которой обладает наш объект, - это так называемая зеркально-поворотная симметрия: объект совмещается сам с собой в результате поворота на 90 вокруг оси АВ и последующего отражения в плоскости CDEF. Ось АВ называют зеркально-поворотной осью 4-го порядка. Таким образом, здесь наблюдается симметрия относительно двух последовательно выполняемых операций – поворота на 90 и отражения в плоскости, перпендикулярной к оси поворота. рис.2 рис.1

14 Переносная (трансляционная) симметрия. При переносе (трансляции) вдоль прямой АВ на расстояние а (или кратное этой величине) фигура совмещается сама с собой. В этом случае говорят о переносной, или трансляционной, симметрии. Прямая АВ называется осью переноса, а расстояние а – элементарным переносом или периодом. Строго говоря, симметричная по отношению к переносам фигура должна быть бесконечно длинной в направлении оси переноса. Однако понятие переносной симметрии применяют и в случае фигур конечных размеров, имея в виду наблюдаемое при переносе частичное совмещение фигуры. Из рисунка видно, что при переносе конечной фигуры на расстояние а вдоль прямой АВ наблюдается совмещение участка 1 и участка 2.

15 Скользящая плоскость (ось) симметрии. Ранее было показано, что с последовательно выполняемыми операциями поворота и отражения может быть связан новый тип симметрии – зеркально-поворотная симметрия. Комбинирование поворотов или отражений с переносами также может выявить новые типы симметрии. В качестве примера отметим симметрию, отвечающую наличием так называемой скользящей плоскости симметрии (точнее, скользящей оси симметрии, так как рассматривается плоская фигура). На рисунке изображена фигура, обладающая переносной симметрией вдоль оси АВ с периодом 2 а. Нетрудно видеть, что здесь имеет место еще один тип симметрии – симметрия относительно переноса вдоль оси АВ с периодом а и последующего отражения относительно оси АВ. Ось АВ называется скользящей осью симметрии с периодом а.