§2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 2.1 Системы линейных уравнений Линейной системой m уравнений с n неизвестными х 1, х 2,…х n называется. - презентация

1 §2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 2.1 Системы линейных уравнений Линейной системой m уравнений с n неизвестными х 1, х 2,…х n называется система вида где числа а 11, а 12,…а mn – коэффициенты системы. Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Если система не имеет решений, то она называется несовместной. (2.1)

2 Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, система, имеющая более одного решения – неопределенной. Наивысший порядок ненулевого минора называется рангом матрицы и обозначается rang A. называются основной и расширенной матрицами системы, соответственно. Теорема (Кронекера-Капелли): Для того чтобы линейная система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы. Матрицы

3 Система уравнений (2.1) эквивалентна системе Ах=b, записанной в матричной форме. Если |А| 0, то матрица А называется невырожденной и для нее существует обратная матрица А -1 x = А -1 b. 2.2 Матричный метод где А ij – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы. Тогда

4 Пример: Решить систему уравнений матричным методом. значит А – невырожденная и существует A ij =(-1) i+j М ij.

5

6 . 2.3 Правило Крамера Матричное равенство х =А -1 b можно записать в виде откуда с учетом теоремы Лапласа следует, что i=1..n, где = |А|, а i –определитель, полученный из заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

7 Правило Крамера: если определитель системы уравнений отличен от 0, то она имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера. Существование этого решения следует из теоремы Кронекера-Капелли, т.к. из соотношения |А| 0 следует, что ранг основной матрицы А равен n, а ранг расширенной матрицы, содержащей n строк, больше числа n быть не может и поэтому равен рангу основной матрицы.

8 Пример: Решить систему уравнений по формулам Крамера. значит система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера

9 2.4 Метод Гаусса Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции: а) перестановка двух строк матрицы; б) умножение строки на число 0; в) прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на число 0; г) транспонирование матрицы. Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Поэтому при вычислении ранга матрицы она при помощи элементарных преобразований приводится к матрице В, ранг которой легко находится. Если rang A=rang B, то A B.

10 Рассмотрим систему линейных уравнений либо к трапециевидному Ее расширенную матрицу элементарными преобразованиями над строками можно свести либо к треугольному виду (2.2)(2.3)

11 Матрица (2.2) соответствует преобразованной системе В этом случае, начиная с последнего уравнения, находим последовательно значения неизвестных x n, x n-1,…x 1 единственным образом, если c nn 0, … c 22 0, a Если в некоторой i-ой строке все с ij =0, а d i 0, то это свидетельствует о том, что система несовместна, т.к. в данном случае rang([A|b]) rang(A).

12 Пример: Решить систему уравнений методом Гаусса. Расширенная матрица системы имеет вид: Переставим вторую строку на место первой, первую на место третьей, а третью на место второй, получим: От третьей строки отнимем четыре первых:

13 К третьей строке прибавим шесть вторых: Матрица приведена к треугольному виду, ей соответствует преобразованная система уравнений: Находим решение этой системы, начиная с последнего уравнения:

14 Для трапециевидной матрицы (2.3) преобразованная система имеет вид: Отсюда находим Придавая переменным x m+1, x m+2,…x n произвольные значения, находим из системы x m, x m-1,…x 1. Таким образом, метод Гаусса дает возможность не только решить систему, но и ответить на вопрос о ее совместности.

15 Пример: C помощью метода Гаусса решить систему Т.к. rang(A)=3

16 Пусть х 4 =2t, t R, тогда: Матрица приведена к трапециевидной форме, ей соответствует преобразованная система уравнений: Находим решение этой системы, начиная с последнего уравнения.