Числа Комплексные числа. N (+;*) Z (+;*;-) Q (+;*;-;:) R (+; *;-;:;корень) - презентация

1 числа Комплексные числа

2 N (+;*) Z (+;*;-) Q (+;*;-;:) R (+; *;-;:;корень)

3 Основная задача алгебры – решение уравнений и систем уравнений. Их умели решать уже в 3 веке (греческий математик Диофант - «Арифметика» ) В 5 веке в трудах индийских математиков появились задачи, для решения которых требовались квадратные уравнения, но рассматривались только положительные корни. 13 – 16 века – немецкий математик Штифель рассмотрел уже и отрицательные корни и свёл все способы решения уравнений в одно правило. 16 век – французский математик Франсуа Виет, служивший шифровальщиком при королевском дворе, впервые ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов

4 16 век – Италия. Математические диспуты – поединки.. Побеждал тот, кто решал больше задач. Победитель не только награждался славой и назначенным денежным призом, но и мог занять университетскую кафедру, а потерпевший поражение часто терял занимаемое место. 20 февраля 1535 года состоялся один из таких диспутов, где один из виднейших математиков того времени Николо Тарталья в течение двух часов решил 30 задач, предложенных ему противником, который не решил ни одной из 30 предъявленных ему задач.

5 Тарталья открыл формулу для нахождения корней кубических уравнений и, как полагалось по обычаям того времени, держал её в секрете. Позднее он частично раскрыл свою тайну итальянскому математику Джероламо Кардано, который опубликовал эту формулу и был обвинён Тартальей в нарушении клятвы. Но формула и по сей день называется формулой Кардано.

6 Кардано – привёл решение уравнения четвёртой степени. Начались поиски формул, которые сводили бы решение уравнений высших степеней к извлечению корней («решение в радикалах»), которые продолжались около трёх столетий. Лишь в начале 19 века Нильс Абель и Эварист Галуа доказали, что уравнения степеней выше четвёртой в общем случае в радикалах не решаются.

7 Теорему о числе корней уравнения n– ой степени сформулировал Рене Декарт, при этом допуская существование не только истинных (положительных) и ложных (отрицательных) корней, но и воображаемых, которые получались при извлечении квадратного корня из отрицательного числа. Долгое время к множеству таких чисел, где существует величина, квадрат которой равен отрицательному числу, относились, как к чему – то сверхъестественному

8 Множество комплексных чисел – множество выражений вида a + bi, где а и b – действительные числа, i - некоторый специальный знак.

9 Основные правила: а + bi = с + di тогда и только тогда, когда а = с и b = d сумма выражений: (а + bi) + (с + di) = ( а + с) + (b + d)i произведение выражений: (а + bi)(с + di) = (ас – bd) + (ad + bс)i а = а + 0i 0 = 0 + 0i bi = 0 +bi i = 0 + 1i i² = -1, где i– мнимая единица

10 z = a + bi z – комплексное число a + bi – алгебраическая форма комплексного числа a – действительная часть числа z b – мнимая часть числа z i² = 1, где i – мнимая единица

11 Примеры 1. (3 + 2i) + (-1 + 3i) = (3-1) + (2 +3)i = 2 + 5i 2. (-1 + 5i) + (-1 + (-5)i) = (-1-1) + (5 - 5)i = i = (7 + 2i) + (-7 + 1i) = (7 – 7) + (2 + 1)i = 0 + 3i = 3i 4. (4 + (-3)i) + ( i) = (4 – 4) + (-3 + 3)i= 0 + 0i = 0 5. (3 + 2i)(-1 +3i) = (-3 – 6) + (9 – 2)i = i 6. (-1 + 5i)(-1 + (-5)i) = (1 + 25) + (5 – 5)i = i = 26

12 Для комплексных чисел справедливы основные законы арифметических действий 1 Переместительный закон: а + в = в + а 2 Сочетательный закон: (а + в) + с = а + +(в + с) 3 Распределительный закон: а(в + с) = =ав + ас

13 Арифметические действия с комплексными числами --- такие же, как и с алгебраическими выражениями; NB! i² = -1

14 Тренировочные упражнения 1. (3 + 2i) + (-1 + 3i) 2. (-1 + 5i) + (-1 + (-5)i) 3. (7 + 2i) + (-7 + 1i) 4. (4 + (-3)i) + ( i) 5. (3 + 2i)(-1 +3i) 6. (-1 + 5i)(-1 + (-5)i) i) ² 8. (5 + 3i)(5 – 3i) 1 –6: сравни ответы с уже решёнными по основным правилам примерами

15 Примеры для самостоятельного решения 1. (3 + 2i) + (1 + 5i) 2. (-5 + i) + (1 – 4i) 3. (-5 + 7i) + (5 – i) 4. (3 + 2i) (1 + 5i) 5. (-5 + i) (1 – 4i) 6. (5 – 2i) (5 – i) 7. (5 + 2i)² 8. (3 – 2i)² 9. (4 + i)²

16 Проверь себя: 1) 4 + 7i 4) i 7)21 – 10i 2) -4 – 3i 5) i 8) 5 – 12i 3) 6i 6) 23 – 15i 9)15 + 8i

17 1) (3 – 11i) + (4 + 15i) 2) (8- i) + (-8 + i) 3) (7 – 5i) + (8i – 7) Домашнее задание: 4) (7 – i) (5i + 1) выполнить действия (1 – 12) 5) (3i + 4) (4 – 7i) 6) -5i -7) (4 + 3i) 7) 2 + i)² 8) (2 – 3i)² 9) (7 + 2i)² 10) (6 – 5i) (6 + 5i) 11) (2 + i)³ 12) (1 – i)³