«Готовимся к ЕГЭ» Презентация на тему «Производная» Подготовила: Ученица 11 «Б» класса Сизая Наталья. - презентация

1 «Готовимся к ЕГЭ» Презентация на тему «Производная» Подготовила: Ученица 11 «Б» класса Сизая Наталья.

2 Благодаря применению производной на практике, можно решить множество типов задач… Вот примеры решения таких задач:

3 Использование производной при решении задач по физике Задача 1. Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r2 - b/r, где a и b – положительные постоянные, r -- расстояние между частицами. Найти: а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы; б) выяснить устойчиво ли это положение; в) Fmax значение силы притяжения; г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r). U = a/r2 - b/r; Решение:

4 a и b -- counts; Для определения r0 соответствующего равновесному r0 -- ? положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум. Fmax -- ? Используя связь между потенциальной энергией поля U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr = - (- 2a/r3+b/r2) = 0; при этом r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной: d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = - 6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3) r0 = 2a/b; Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной: d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = - 6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3)

5 Задача 2. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по закону B = B0(1 + бH), где б = const (черт.). Решение. Пусть n - нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток, созданный вертикальной составляющей магнитного поля., Ф = BS = B0(1 + бH)S, где S = рd2/4 - площадь контура. ЭДС индукции, возникающая в кольце, E = - Ф'(t) = - (B0(1 + бH)S)' = - B0SбH'(t). Производная H'(t) = нн - это проекция скорости кольца на ось H. Таким образом, Ei = - B0Sб( - нн). Так как скорость кольца направлена против оси H, то нн = - н, где н - модуль скорости кольца и Ei = B0Sбн.

6 По кольцу протекает индукционный ток J = Ei /R = B0Sбн/R. В результате в кольце за промежуток времени Дt выделяется количество теплоты Q = J2RДt. На высоте H1 кольцо обладает механической энергией W1 = mgH1 + mн2/2, на высоте H2 W2 = mgH2 = mgH2 + mн2/2 (н = const, т. е. скорость кольца не меняется). По закону сохранения энергии W1 = W2 + Q => mgH1 = mgH2 + J2RДt => mg(H1 - H2) = (B0Sбн/R)2RДt => mg(H1 - H2) = (B0Sбн)2Дt/R (*) Разность (H1 - H2) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому H1 - H2 = нДt, и уравнение (*) примет вид: mgнДt = (B0Sбн)2Дt/R => mg = (B0Sб)2н/R => н = mgR/(B0Sб)2 = 16mgR/(B0рd2б)2. Ответ: н = mgR/(B0Sб)2 = 16mgR/(B0рd2б)2.

7 Задача 3 Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно по закону х( t ) = 2 t 3 - t 2 при t = 2. Решение: Задача 3 Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно по закону х( t ) = 2 t 3 - t 2 при t = 2. Решение:

8 Задача 4 Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 20 см, отстоящей от точки А на расстоянии n, масса куска стержня АС в граммах определяется по формуле m ( n ) = 3 n n. Найдите линейную плотность стержня: а) в середине отрезка АВ; б) в конце В стержня. Решение: Задача 4 Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 20 см, отстоящей от точки А на расстоянии n, масса куска стержня АС в граммах определяется по формуле m ( n ) = 3 n n. Найдите линейную плотность стержня: а) в середине отрезка АВ; б) в конце В стержня. Решение:

9 Использование производной при решении задач по алгебре Задача 5 Два туриста отправились по одному маршруту. В первый день они прошли одно и то же расстояние. В каждый из следующих дней первый турист увеличивал пройденный путь, по сравнению предыдущим, на одно и то же расстояние, а второй - в одно и то же число раз. Выяснилось, что в n-тый день (n>2) путешествия туристы снова прошли одно и то же расстояние. Доказать, что за n дней первый турист прошел путь больший, чем второй. Решение. Расстояние, пройденное первым туристом за n дней, представляет собой сумму n первых членов арифметической прогрессии, а вторым – сумму n первых членов геометрической прогрессии. Обозначим эти расстояния соответственно Sn и Sn/. Если a - первый член прогрессии, d - разность арифметической прогрессии, q – знаменатель геометрической прогрессии, то Приравнивая n-е члены прогрессий, находим Тогда, где q>1 (по условию задачи). Задача 4 будет решена, если мы покажем, что, где n>2, q>1 (2) При n=3 имеем, что равносильно очевидному неравенству. Предполагая, что неравенство (2) справедливо при n=k, докажем его для n=k+1. Имеем Для завершения доказательства достаточно убедиться, то выражение при k>2. Здесь целесообразно обратиться к производной. Пусть Производная положительная при x>1. Поэтому f при x>1 возрастает. Так как f(1)=0 и функция f непрерывна в точке x=1, то f(x)>0 при x>1, т.е. f(q)>0. Итак, Sn>Sn/. Задача 5 решена.