Задача Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход. - презентация

1 Задача Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или пять камней или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 20 или 45 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда в куче становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получившим кучу, в которой будет 41 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней ; 1 S 40. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Выполните следующие задания. Во всех случаях обоснуйте свой ответ.

2 Задание 1. а ) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть за один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающие ходы. б ) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

3 Задание 2. Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причем одновременно выполняются два условия : Петя не может выиграть за один ход ; Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

4 Задание 3. Укажите значения S, при котором одновременно выполняются два условия : У Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети ; У Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани ( в виде рисунка или таблицы ). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах – количество камней в позиции.

5 1. а ) S=14…40 камней. Утроив количество камней, Петя выиграет с первого хода, получив в куче более 41 камня. б ) S=13 камней. После первого хода у Пети будет 14 или 18 или 39 камней. Тогда Ваня своим первым ходом выиграет в любом случае. 1. а ) S=14…40 камней. Утроив количество камней, Петя выиграет с первого хода, получив в куче более 41 камня. б ) S=13 камней. После первого хода у Пети будет 14 или 18 или 39 камней. Тогда Ваня своим первым ходом выиграет в любом случае.

6 2. Возможные значения : S=8 и S=12. В этих случаях Петя может получить количество камней – 13 и при любом ходе Вани, выиграет со второго хода.

7 3. 1- й ход Пети - 1- й ход Вани 2- й ход Пети 2 - й ход Вани й ход Пети - 1- й ход Вани 2- й ход Пети 2 - й ход Вани *3

8 Задача 2. За один ход игрок может добавить в кучу три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 33. В начальный момент в куче было S камней, 1 S При каких S: 1 а ) Петя выигрывает первым ходом ; 1 б ) Ваня выигрывает первым ходом ? 2. Назовите два значения S, при которых Петя может выиграть своим вторым ходом. 3. При каком S Ваня выигрывает своим первым или вторым ходом ?